Касательное напряжение

Процесс перемешивания вызывает перенос количест­ва движения из области малых скоростей потока в об­ласть больших скоростей и обратно. Очевидно, массы с малыми скоростями при входе в область течений с большими скоростями будут тормозить движение в этой области, т. е. оказывать силовое противодейст­вие движению. Это будут силы инерции, и, следовательно, физическая природа тур­булентных сопротивлений — инерционная. Массы жидко­сти с большими скоростя­ми, оказывая давление на присоединенные массы, уско­ряют их движение и расхо­дуют при этом свою энергию (при этом ускорении возни­кают сил и инерции).

Определим касательные напряжения. Рас­смотрим два слоя: слой а—а и слой b-b (рис. 12). Пусть слом а-а движется со скоростью, равной про­екции полной скорости частицы и на ось 0 - х (u_х=u∙ cosα), а слой b—b движется со скоростью u_x+du_x. При этом за время dt из слоя а—а в слой b—b через площадку dω =dx dy, параллельную координатной пло­скости х0у, проходит масса dm=ρ dx dyu_zdt и внедряется в слой b—b, приобретая там скорость u_x+du_x.

Составим уравнение изменения количества движения для массы dm:

(28)

Здесь dF — сила, действующая на массу dm в тече­ние времени dt, представляющая собой воздействие жидкости за пределами слоя a—а на массу dm в про­цессе ее перемещения в слой b—b.

С учетом равенства dm=ρ dx dyu_zdt получим

Сила F направлена параллельно оси Ох и приходится на площадь dω =dxdy, поэтому касательное напряже­ние τ для площадки ω равно:

(29)

После подстановки и сокращения на dt получим

откуда

(30)

Здесь скорость , но осредненная скорость , так как расход потока направлен вдоль оси трубы, т. е. вдоль оси Ох, а вдоль оси Оz равен нулю (препятствуют жесткие стенки самой трубы). Поэтому . Примем далее условие , что возмож­но допустить, выбирая соответственно расстояние меж­ду слоями а-a и b-b.

Итак, для касательного напряжения можно записать:

(31)

Это будет мгновенное касательное напря­жение, а осредненное касательное напря­жение т определится по известной формуле осред­нения

(32)

Здесь, очевидно, усредняется значение подынтеграль­ной функции , и таким образом будем иметь выра­жение осредненного касательного напряжения

(33)