Пример расчета рамы методом перемещений

Пусть требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил для рамы, изображенной на рис.6.1, при F =0.8 кН и EI = const.

Подсчитаем число неизвестных. Рама имеет один жесткий узел, следовательно . Для определения числа линейных перемещений поставим шарниры во все узлы, считая опорные, как показано на рис.6.2. Степень свободы полученной шарнирно-стержневой системы равна 2 У-С-С _о= 2*4-3-4=1. Следовательно, число независимых линейных смещений равно . Общее число неизвестных метода перемещений .

Основную систему метода перемещений получим, наложив связь, препятствующую угловому перемещению узла 1 и линейному перемещению узлов 1 и 2 по горизонтали. Основная система показана на рис.6.3.

Канонические уравнения метода перемещений для рассчитываемой рамы имеют вид

Для определения коэффициентов канонических уравнений построим эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений в направлении наложенных связей и от приложенной нагрузки для основной системы. Эпюры строятся с помощью данных, приведенных в разделе 4(см. рис.6.4).

Коэффициенты канонических уравнений найдем статическим способом. Для определения коэффициента вырежем узел 1 в первом единичном состоянии (рис.6.5, а) и составим для этого узла уравнения равновесия в виде суммы моментов. Получим:

Последовательно вырезая узел 1 во втором единичном и грузовом состояниях (рис.6.5, б, в) и составляя для этого узла уравнения равновесия в виде суммы моментов, получаем:

Для определения коэффициентов второй строки, представляющих собой реакции в дополнительном горизонтальном опорном стержне, воспользуемся круговым разрезом 1, показанным на рис.6.6. Для отсеченной части,

изображенной на рис6.6, составим уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на горизонтальную ось в единичных (рис.6.6, а, б) и грузовом (рис.6.6, в) состояниях.

Получим:

Решая составленные уравнения, находим

Подставим найденные значения коэффициентов в канонические уравнения метода перемещений и решим их:

Окончательную эпюру моментов для заданной рамы построим по формуле

Чтобы воспользоваться этой формулой, предварительно построим эпюры . Эти две эпюры и окончательная эпюра моментов показаны на рис.6.7.

Поперечные силы в стержнях рамы можно найти по эпюре изгибающих моментов на основании дифференциальной зависимости . Так как эпюра изгибающих моментов состоит из отрезков прямых, то поперечная сила на каждом участке рамы находится как тангенс угла наклона огибающей эпюры моментов. Эпюра поперечных сил показана на рис.6.8.

Для проверки правильности построения эпюр М и Q проверим равновесие рамы. Вырежем узел 1 и приложим к нему моменты, действующие на этот узел со стороны отброшенных стержней (рис.3.83). Значения моментов определяем по эпюре М (рис.3.81). Найдем сумму моментов в данном узле. Получим:

Таким образом, неуравновешенный момент в узле 1 составляет 0.00024кНм. Абсолютное значение погрешности не позволяет судить о точности результатов, поэтому вычислим относительную погрешность :

Как видим, относительная погрешность определения изгибающих моментов мала, возникновение же ее объясняется тем обстоятельством, что при выполнении расчетов все результаты округлялись на третьей значащей цифре.

Аналогичным образом проверяется равновесие по поперечным силам. Проведем круговое сечение, как показано на рис.3.83, б, приложим поперечные силы, действующие на узел со стороны отброшенных стержней и вычислим сумму проекций всех сил на горизонтальную ось, обозначив последнюю буквой х. Получим:

Относительная погрешность составляет