Расчет статически неопределимых систем методом сил

Лекция 13

Статическая неопределимость

Как уже отмечалось выше, статически неопределимой называется такая конструкция, которая содержит лишние с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости связи. Усилия в лишних связях не могут быть найдены из уравнений статики, поэтому приходится составлять дополнительные уравнения, исследуя свойства деформаций системы. Число лишних связей является важной характеристикой рассчитываемой конструкции, поскольку от нее зависит трудоемкость расчета. Эту характеристику называют иначе степенью статической неопределимости. В простейших случаях, когда все лишние связи являются внешними, степень статической неопределимости можно найти как разность между общим числом внешних связей и числом уравнений статики, которые можно составить для конструкции в целом. Например, балка, изображенная на рис.13.1, имеет три лишних связи, поскольку для обеспечения ее неизменяемости достаточно оставить одну неподвижную и одну подвижную опоры. Следовательно, степень статической неопределимости балки равна трем.

Рама, изображенная на рис.13.2, дважды статически неопределима, так как количество неизвестных опорных реакций, равное 5, превышает число уравнений статики, равное 3, на 2.

В более сложных случаях, когда стержневая конструкция содержит как внешние, так и внутренние лишние связи, такой простой подсчет степени статической неопределимости невозможен. Для плоских конструкций можно получить, однако, сравнительно простую формулу для определения числа лишних связей.

Рассмотрим П-образную раму с защемленными опорами (рис.13.3).

Очевидно, что рама рис.13.3 трижды статически неопределима; чтобы образовать статически определимую и геометрически неизменяемую конструкцию, необходимо отбросить три связи, как показано, например, на рис.13.4.

Постановка одного простого шарнира, как показано на рис.13.5, снижает степень статической неопределимости на единицу. Действительно, для того, чтобы образовать статически определимую и геометрически неизменяемую конструкцию, из рамы рис.13.5 необходимо отбросить две связи, как показано, например, на рис.13.6.

Таким образом, если рама имеет К замкнутых контуров и содержит Ш простых шарниров, то ее степень статической неопределимости может быть найдена по формуле:

(13.1)

Простым шарниром называется такой узел, в котором шарнирно соединены два элемента. В противном случае шарнир называется кратным. Кратность шарнира равна числу соединяемых элементов, уменьшенному на единицу (см. рис.13.7).

Подсчитаем, например, степень статической неопределимости рамы рис.13.2. Рама имеет два замкнутых контура, включая опорный, и четыре простых шарнира, следовательно, n=3*2-4=2. Аналогичный результат был получен выше путем анализа геометрической структуры рамы рис.13.2.

Отметим, что опорные контуры следует включать в число замкнутых контуров в том случае, если они изображаются с помощью шарниров и опорных стержней (рис.13.2). Если же шарнирная опора изображена в виде, показанном на рис.13.8, то опорный контур в этом случае учитывать не надо, а шарнир следует считать простым, так как он соединяет стержень рамы с двумя условными стержнями, образующими жесткое целое с основанием. Шарнир в данном случае соединяет фактически два элемента (стержень рамы и основание), и поэтому является простым.

Канонические уравнения метода сил

Методику расчета стержневых конструкций методом сил рассмотрим на примере.

П р и м е р.

Пусть требуется рассчитать раму, изображенную на рис. 13.8. На рисунке показана схема рамы, опорные закрепления и внешние нагрузки. Реакции на правой опоре обозначены как Х ₁ и Х ₂. Рама является статически неопределимой, т.к. количество неизвестных опорных реакций, равное 5, превышает число уравнений статики, равное 3, на 2. Следовательно, рама дважды статически неопределима. Чтобы решить задачу, примем в качестве основных неизвестных усилия в лишних связях и перейдем от расчета заданной конструкции к расчету основной системы. Основная система образуется из заданной конструкции путем удаления лишних связей. Различные варианты основной системы показаны на рис. 13.9. Каждая из них получена удалением двух связей Для дальнейшего расчета примем основную систему, показанную на рис. 13.9, а.

Отметим, что основная система, показанная на рис. 13.9, а, отличается от заданной конструкции, как в силовом, так и в кинематическом отношениях. Силовое отличие заключается в том, что в заданной конструкции на правой опоре возникают опорные реакции и , в основной же системе в точке А нет опор и, следовательно, нет и никаких сил. Кинематическое отличие состоит в том, что в заданной конструкции на опоре А нет перемещений, в основной же системе точка А может перемещаться как по горизонтали, так и по вертикали. Чтобы сделать основную систему эквивалентной заданной конструкции, приложим в точке А силы и , устранив таким образом силовое несоответствие, и потребуем, чтобы перемещения по направлению отброшенных связей были равны нулю, что приведет к устранению кинематического несоответствия. Эквивалентная система показана на рис. 13.10.

Условия равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей можно записать в следующем виде:

(13.2)

Перемещения в основной системе вызываются внешними силами, а также силами Х ₁ и Х ₂ . Воспользовавшись принципом суперпозиции, соотношения (13.2) запишем в виде:

,

(13.3)

где - перемещение по направлению первой отброшенной связи от действия силы Х₁; - перемещение по направлению первой отброшенной связи от действия силы Х₂; - перемещение по направлению первой отброшенной силы от внешних сил и т.д.

Перемещения от сил Х₁ и Х₂ можно представить следующим образом:

(13.4)

В формулах (13.4) - перемещение в направлении первой отброшенной связи от силы Х ₁ =1; - перемещение в направлении первой отброшенной связи от силы Х ₂ =1 и т.д.

Подставляя формулы (13.4) в уравнения (13.3), получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

.

(13.5)

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. В случае конструкции с n неизвестными канонические уравнения метода сил имеют следующий вид:

(13.6)

Коэффициенты канонических уравнений представляют собой перемещения в основной системе. Их можно найти по формуле Мора, а именно:

где - моменты в основной системе от нагрузки и сил и соответственно.

Интегралы, входящие в формулу Мора, можно найти по способу Верещагина или по методу Симпсона. Таким образом, для определения коэффициентов канонических уравнений необходимо построить эпюры изгибающих моментов для основной системы от заданной нагрузки и от единичных значений неизвестных. После вычисления коэффициентов и решения системы канонических уравнений окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной конструкции может быть построена по формуле

Эпюра поперечных сил может быть построена по эпюре изгибающих моментов с использованием известных из курса сопротивления материалов дифференциальных зависимостей между изгибающим моментом и поперечной силой. Эта зависимость имеет следующий вид:

Эпюра продольных сил может быть построена с использованием эпюры поперечных сил и способа сечений. Для проверки правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов можно использовать то обстоятельство, что перемещения по направлению отброшенных связей должны быть равны нулю. Математически это условие выражается так:

.

С учетом изложенного выше, алгоритм расчета конструкций методом силможно сформулировать следующим образом.

Подсчитать число лишних связей.

Выбрать основную систему.

Составить канонические уравнения метода сил.

Определить коэффициенты канонических уравнений.

Решить систему канонических уравнений.

Построить окончательные эпюры моментов.

Построить эпюры поперечных сил.

Построить эпюру продольных сил.

Проверить правильность построения окончательной эпюры моментов.