Основная система. Канонические уравнения метода перемещений

Основную систему получим, наложив на узлы дополнительные кинематические связи, препятствующие перемещениям узлов, как показано на рис.3.66. Связи, препятствующие поворотам узлов, будем обозначать затушеванными квадратиками, а связи, препятствующие линейным перемещениям, будем изображать в виде опорных стержней. Отметим, что дополнительные связи, препятствующие поворотам, отличаются от обычных заделок тем, что они не препятствуют линейным перемещениям узлов.

Между заданной рамой и основной системой имеются два несоответствия: силовое и кинематическое. Силовое заключается в том, что в узлах основной системы появились реакции в дополнительных связях R₁ , R₂, R₃, которых нет в заданной системе. Кинематическое несоответствие заключается в том, что в

заданной системе узлы смещаются, а в основной системе - нет. Устраним эти два несоответствия. Кинематическое несоответствие устраним, задав узлам основной системы такие перемещения, какие они имеют в заданной конструкции (см. рис.3.66, б), при этом примем новые обозначения для перемещений, а именно – все перемещения, как линейные, так и угловые, обозначим буквой Z c индексом, равным номеру перемещения.

Силовое несоответствие устраним, приравняв нулю реакции наложенных связей. Получим

(3.43)

Реакции наложенных связей можно представить как сумму реакций, вызванных смещениями этих связей и внешней нагрузкой, т.е.

.

(3.44)

В формулах (3.44) - реакция в первой дополнительной связи от смещения этой связи на Z ₁, - реакция в первой дополнительной связи от смещения второй дополнительной связи на Z ₂ и т.д., R _{1, F} - реакция первой связи от нагрузки и т.д.

Представим реакции дополнительных связей, вызванных смещениями этих связей, в виде произведения реакций от единичных значений смещений на их полные значения, т.е.

(3.45)

где r _{1, 1} - реакция первой связи на единичное смещение этой связи;

r _{1, 2} - реакция первой связи на единичное смещение второй связи и т.д.

С учетом этих формул уравнения (3.44) принимают вид:

(3.46)

Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода перемещений. В общем случае для конструкции, имеющей n неизвестных узловых перемещений, канонические уравнения метода перемещений записываются так:

(3.47)

Определение коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений

Для определения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений необходимо построить эпюры моментов и поперечных сил в основной системе от приложенной нагрузки и от единичных смещений наложенных связей, пользуясь таблицей, приведенной в разделе 3.2.2, т.к. основная система представляет совокупность однопролетных статически неопределимых балок, для которых имеются заранее заготовленные решения. Для рассматриваемой рамы эти эпюры приведены на рис.3.67.

Реакции в наложенных связях от единичных смещений этих связей и от приложенной нагрузки r _{1, 1,} r _{1, 2}, r _{1, 3},..., R _{1, F} находятся методом сечений.

Для определения реакций r _{1, 1} вырежем узел 1 в первом единичном состоянии и составим уравнения равновесия узла в виде суммы моментов всех сил относительно точки пересечения стержней, сходящихся в данном узле (см. рис. 3.68):

.

Из полученного уравнения находим .

Для определения r _{2, 1} вырежем узел 2 в первом единичном состоянии (см. рис. 3.68, б). Уравнение равновесия узла 2 имеет вид:

Из полученного уравнения находим:

Аналогичным образом находим остальные реакции, представляющие собой реактивные моменты в дополнительных заделках. Для определения реакции рассечем раму на две части, как показано на рис. 3.68, в и составим уравнение равновесия верхней отсеченной части в виде суммы проекций всех сил на горизонтальную ось. Получим

Отсюда

Аналогичным образом определяются другие коэффициенты системы уравнений, представляющие собой реакции в дополнительном опорном стержне. После определения коэффициентов и решения системы канонических уравнений окончательная эпюра моментов может быть построена по формуле

.

Дальнейший расчет проводится так же, как и при использовании метода сил.