Задача 3. Дослідження руху системи твердих тіл за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії

Теоретична довідка. Кінетичною енергією механічної системи називають скалярну величину, що дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи

, (1.24)

де m_i, v_i – маса та швидкість i – ої точки системи.

Якщо система складається з декількох тіл, то її кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій цих тіл

. (1.25)

Під час поступального руху твердого тіла його кінетичну енергію визначають за формулою

, (1.26)

де m, – маса твердого тіла та швидкість його центра мас.

Під час обертального руху твердого тіла навколо деякої осі з кутовою швидкістю його кінетична енергія дорівнює

, (1.27)

де - момент інерції тіла відносно осі обертання.

Під час плоскопаралельного руху твердого тіла кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху тіла зі швидкістю центра мас і кінетичної енергії обертального руху навколо осі , що проходить через центр мас, перпендикулярно до площини руху тіла, і дорівнює

, (1.28)

де – маса тіла; - момент інерції тіла відносно центральної осі, що проходить через центр мас тіла; - кутова швидкість обертання тіла під час плоскопараллельного руху.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи

Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому її переміщенні дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на систему, під час цього переміщення:

, (1.29)

де - відповідно початкова і кінцева кінетичні енергії системи; - відповідно робота зовнішніх та внутрішніх сил, прикладених до точок системи.

У випадку твердого тіла, коли сума робіт внутрішніх сил на довільному переміщені дорівнює нулю, з рівності (1.33) випливає теорема про зміну кінетичної енергії абсолютно твердого тіла

. (1.30)

Робота сил, що діють на тверде тіло

Роботу сил обчислюють за тими самими формулами, що й для матеріальної точки. У разі твердого тіла розглянемо додаткові випадки.

а). Роботу сили тяжіння, що діє на тверде тіло, обчислюють як роботу рівнодійної сил тяжіння тіла на переміщенні центра тяжіння (чи центра мас) тіла, тобто

, (1.31)

де - вертикальне переміщення центра тяжіння (чи центра мас) твердого тіла.

б). Роботу моменту , прикладеного до тіла при обертальному русі навколо осі , визначають за формулою

(1.32)

де - елементарний кут повороту тіла; - кут, що визначає кінцеве положення тіла.

У випадку сталого моменту

. (1.33)

Робота моменту додатна, коли напрям дії моменту і кута повороту збігаються.

в). Робота сил тертя, що діють на тіло кочення. Якщо тіло кочення (коток) котиться по деякій поверхні без проковзування, то в точці їх дотику виникають: сила тертя ; нормальна реакція поверхні та момент опору коченню , що дорівнює

, (1.34)

де - коефіцієнт тертя кочення, розмірність якого см (чи м).

Для тіла кочення точка дотику з поверхнею є миттєвим центром швидкостей, через який проходять лінії дії сил і . Робота цих сил на будь-яких переміщеннях тіла дорівнює нулю: ; . Роботу моменту опору коченню обчислюють за формулою (1.32) чи (1.33).

Зауважимо, що має місце таке твердження: робота сил, прикладених до миттєвого центра швидкостей, дорівнює нулеві.

Приклад 3.1. Система твердих тіл (рис. 1.13) складається з тіла 1 масою m ₁ = 9 кг, циліндричного суцільного тіла 2 масою m ₂=2 кг і ступінчастого циліндричного тіла 3 масою m ₃=3 кг. Більший радіус тіла 3 дорівнює R ₃=0, 4 м, менший – r ₃=0, 2 м, а його радіус інерції =0, 28 м. Тіла прикріплені до блока 3 за допомогою нерозтяжних невагомих ниток.

Рис. 1.13

У початковий момент часу система перебуває в стані спокою. В момент руху системи на неї діють сили тяжіння. Крім того на тіло 2, що рухається без проковзування по нахиленій площині під кутом до горизонту, діє сила тертя кочення та момент тертя кочення, коефіцієнт тертя кочення .

Визначити швидкості і прискорення а ₁тіла 1 при його переміщенні на величину = 0, 5 см.

План розв’язування задачі

1. Записати формулу, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи.

2. Визначити кінетичну енергію окремих тіл та системи загалом у початковому та кінцевому її положеннях.

3. Визначити роботу зовнішніх сил, прикладених до окремих тіл системи, на викликаних цими силами переміщеннях тіл та записати сумарну роботу зовнішніх сил.

4. Користуючись формулою, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи, записати рівняння для визначення потрібної величини.