Задача 1. Дослідження руху матеріальної точки під дією заданих сил

Теоретична довідка. З кінематики відомо, що рух матеріальної точки в просторі можна описати трьома способами: векторним, координатним і натуральним. Кожному з цих способів відповідають рівняння руху матеріальної точки, які встановлюють на підставі основного рівняння динаміки точки

, (1.1)

де - маса точки; - її прискорення; - рівнодійна сил що діють на точку.

Якщо рух матеріальної точки описують векторним способом, тобто її положення у просторі визначається радіус-вектором , то з рівняння (1.1), при , будемо мати

, (1.2)

де - швидкість точки; тут і надалі крапка над відповідною величиною означає її похідну за часом .

Рівняння (1.2) називають диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.

Якщо рух матеріальної точки описують координатним способом, тобто її положення у просторі визначається декартовими координатами , , , то рівняння руху (1.1) набуде вигляду:

(1.3)

де , , , , , - проекції векторів прискорення і швидкості точки на осі ; - проекції на ці осі рівнодійної системи сил, що діють матеріальну точку.

Рівняння (1.3) називають диференціальними рівняннями руху матеріальної точки в координатній формі.

Якщо рух матеріальної точки описують натуральним способом, тобто її положення на траєкторії руху визначається дуговою координатою , то рівняння руху (1.1) в проекціях на осі натурального тригранника ( - одиничний вектор, напрямлений по дотичній до траєкторії в додатному напрямку дугової координати; - одиничний вектор, напрямлений вздовж головної нормалі до траєкторії в бік її ввігнутості; - одиничний вектор, напрямлений по бінормалі і утворює з векторами і праву трійку) мають вигляд:

(1.4)

де - алгебраїчна швидкість точки; - радіус кривизни траєкторії в заданій точці; , , - проекції вектора прискорення на напрямки , зокрема - називають дотичним та нормальним прискоренням відповідно; - проекції на вказані напрямки рівнодійної системи сил, що діють на точку.

Рівняння (1.4) називають диференціальними рівняннями руху в натуральній формі.

Приклад 1.1. Тіло масою , яке вважають матеріальною точкою, рухається в порожнистій трубці, розташованій у вертикальній площині (рис. 1.1).

Рис. 1.1

На зігнутій у вигляді півкола радіуса ділянці тіло рухається з точки згідно з законом . На ділянці тіло рухається прямолінійно під дією: сили тяжіння ; реакції , нормальної до поверхні трубки; сили тертя ( - коефіцієнт тертя); сили опору ( - постійний коефіцієнт). Тривалість руху тіла на ділянці становить На ділянці тіло, що набуло швидкості , рухається з положення () під дією сили тяжіння (опором повітря нехтуємо) і падає на горизонтальну площину (положення ).

Визначити: величину та напрям рівнодійної системи сил, що діють на тіло в положенні , яке задано кутом , та швидкість тіла в положенні на ділянці ; швидкість тіла в положенні на ділянці ; дальність польоту тіла (положення ).

План розв’язування задачі

1. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці .

2. Визначити проекції рівнодійної та рівнодійну системи сил, прикладених до тіла, в положенні на ділянці .

3. Визначити швидкість тіла в положенні на ділянці .

4. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці .

5. Розв’язати диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначити швидкість тіла в положенні на ділянці .

6. Скласти диференціальні рівняння руху тіла на ділянці і визначити дальність польоту тіла.