Розв’язування. 1. Записуємо вираз, що описує теорему про зміну кінетичної енергії для системи твердих тіл

1. Записуємо вираз, що описує теорему про зміну кінетичної енергії для системи твердих тіл. Оскільки механічна система (рис. 1.16) починає рухатись зі стану спокою (Т ₀=0), то рівність (1.34) набуває вигляду

,

де Т - кінетична енергія системи в кінцевому її положенні; - робота зовнішніх сил, прикладених до -го тіла, на викликаному цими силами переміщені тіла.

Рис. 1.16

2. Визначаємо кінетичну енергію всієї системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл:

,

де - кінетичні енергії відповідно вантажу 1, рухомого блока 2, рухомого блока 3.

Ураховуючи масу тіла 1, яка значно більша від маси тіла 3, і великий кут нахилу площини руху вантажу 1, можна вважати, що вантаж 1 переміщується вниз.

Вантаж 1 здійснює поступальний прямолінійний рух зі швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює

.

Блок 2 здійснює обертальний рух з кутовою швидкістю , тому його кінетична енергія дорівнює

,

де - момент інерції блока відносно осі обертання. З рис. 1.16 видно, що лінійна швидкість у точці К дорівнює , а . Тоді кутова швидкість і:

.

Рухомий блок 3здійснює плоскопаралельний рух, тому його кінетична енергія дорівнює

,

де - момент інерції блока 3 відносно осі, яка перпендикулярна до площини руху блока і проходить через центр мас С ₃, який за відомим радіусом інерції блока дорівнює: ; - відповідно швидкість центра мас і кутова швидкість блока 3. Для визначення цих величин використаємо те, що точка є миттєвим центром швидкостей, а також залежності між лінійними швидкостями і кутовими швидкостями тіл 2 і 3 (рис. 1.16):

, , .

Ураховуючи ці співвідношення, знаходимо:

.

Сумарна кінетична енергія системи з урахуванням числових даних дорівнює:

3. Визначаємо роботу всіх зовнішніх сил, прикладених до механічної системи, на відповідних переміщеннях. На механічну систему (рис. 1.16) діють зовнішні сили: сила тяжіння вантажу , нормальна реакція похилої площини , сила тертя ковзання , сила тяжіння нерухомого блоку , реакція підшипника зі своїми складовими , сила тяжіння рухомого блоку . Сила роботи не виконує, оскільки кут між напрямками сили і переміщенням дорівнює . Сили - роботи не виконують, оскільки в точці відсутні лінійні переміщення.

Обчислюємо роботу решту сил при переміщенні вантажу 1 на величину . Для цього спочатку визначимо переміщення окремих точок тіл 2, 3 (рис. 1.16), які зв’язані між собою такими рівностями:

, .

Тоді роботу зовнішніх сил для окремих тіл запишемо так:

; ; .

Сумарна робота зовнішніх сил після підстановки числових даних в залежності від переміщення s ₁ дорівнює:

.

Якщо підставити знайдені значення кінетичної енергії і роботи зовнішніх сил у рівність, що виражає теорему про зміну кінетичної енергії, то одержимо

.

4. Визначаємо швидкість і прискорення а₁ вантажу при його переміщенні .

З останньої рівності маємо

.

Диференціюючи за часом останню рівність, одержимо:

, .

Звідси .