Тема 5. Финансово-математические основы инвестиционного проектирования

Цель лекции: Дать понятия основных концепций стоимости денег во времени; раскрыть основные элементы теории процентов; определить влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег; рассмотреть механизм наращивания и дисконтирования денежных потоков.

Вопросы:

1. Концепции стоимости денег во времени

2. Элементы теории процентов

3. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег

4. Наращивание и дисконтирование денежных потоков

Глоссарий

Будущая стоимость денег — это та сумма, в которую пре­вратятся инвестированные в настоящий момент денежные сред­ства через определенный период времени с учетом некоей процентной ставки.

Настоящая (современная) стоимость денег — это сумма бу­дущих денежных поступлений, приведенных к настоящему мо­менту времени с учетом определенной процентной ставки.

Анализ денежных потоков — раздел финансового анализа, задача которого — определение направления и интенсивности денежных потоков на протяжении заданного будущего периода (например, за период цикла жизни проекта). Позволяет, в частности, " сконструировать" денежные потоки таким образом, чтобы по возможности не допустить долговременного оттока средств (негативный денежный поток) или найти источники покрытия кратковременного недостатка ликвидности, не ставя под угрозу платежеспособность компании; результаты анализа денежных потоков обычно представляются в виде таблиц, где для каждого года (иногда ежемесячно) рассчитываются кассовый и кумулятивный кассовый балансы, показывающие накопление или потерю средств в течение заданного периода.

Аннуитет — серия или один из серии равных по размеру платежей, осуществляемых в течение определенного периода, через равные промежутки времени; первоначально термин относился только к ежегодным платежам, сейчас — употребляется применительно к любым промежуткам времени (ежемесячно, ежеквартально и т. д.).

Денежный поток — поток денежных средств. Концепция финансового управления, представляющая все ре­зультаты операций компании в виде двух встречных потоков денег, " втекающих" в кассу компании и " вытекающих" из нее; разница между этими потоками составляет чистый де­нежный поток или кассовый баланс (net cash flow), который может быть либо положительным, либо отрицательным.

Дисконтирование — операция, обратная начислению сложного процента, используемая для приведения будущих стоимостей к настоящему (текущему) моменту. Позволяет определить текущую стоимость Р (т. е. реальную ценность на данный момент) будущих платежей (поступлений) F_n, осуществляемых через n лет при ставке процента, равной r.

Дисконтированный денежный поток — представление последовательности будущих поступлений (пла­тежей) в виде последовательности их текущих стоимостей (т. е. величин, приведенных к настоящему моменту путем дисконти­рования по определенной ставке).

Начисление сложных процентов — компаундирование, нахождение будущей величины F_n (например, суммы вклада) в конце периода n, если первоначальный взнос составил Р ден. ед., при ставке сложных процентов, равной r.

F_n = P(1+r)ⁿ

Вопрос 1

В основе концепции стоимости денег во времени лежит следу­ющий основной принцип: доллар сейчас стоит больше, чем доллар, который будет получен в будущем, например через год, так как он может быть инвестирован, и это принесет дополни­тельную прибыль.

Данный принцип является наиболее важ­ным положением во всей теории финансов и при анализе ин­вестиций. На этом принципе основан подход к оценке эконо­мической эффективности инвестиционных проектов.

Данный принцип порождает концепцию оценки стоимос­ти денег во времени.

Суть концепции заключается в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нор­мы прибыльности на денежном рынке и рынке ценных бумаг. В качестве нормы прибыльности выступает норма ссудного про­цента или норма выплаты дивидендов по обыкновенным и привилегированным акциям.

Учитывая, что инвестирование представляет собой обычно длительный процесс, в инвестиционной практике, как прави­ло, приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвес­тирования со стоимостью денег при их возврате в виде буду­щей прибыли.

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег — это та сумма, в которую пре­вратятся инвестированные в настоящий момент денежные сред­ства через определенный период времени с учетом некоей процентной ставки. Расчет будущей стоимости денег связан с про­цессом наращения начальной стоимости, пред­ставляющий собой поэтапное увеличение вложенной суммы пу­тем присоединения к первоначальному ее размеру суммы про­центных платежей. В инвестиционных расчетах процентная став­ка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени до­ходности инвестиционных операций.

Настоящая (современная) стоимость денег — это сумма бу­дущих денежных поступлений, приведенных к настоящему мо­менту времени с учетом определенной процентной ставки. Рас­чет настоящей стоимости денег связан с процессом дисконти­рования будущей стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению. Дискон­тирование используется во многих задачах анализа инвести­ций. Типичной в данном случае является следующая: опреде­лить, какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить, например, $1000 через 5 лет.

Таким образом, одну и ту же сумму денег можно рассматри­вать с двух позиций:

а) ее настоящей стоимости;

б) ее будущей стоимости.

Вопрос 2

При анализе инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма до­хода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

где Р — настоящее значение вложенной суммы денег;

F — бу­дущее значение стоимости денег;

п — количество периодов вре­мени, на которое производится вложение;

r— норма доходно­сти (прибыльности) от вложения.

Пример - определение суммы депозитного вклада в банк.

Суть процесса наращения денег не меняется, если деньги, инвестируются в какой-либо бизнес (предприятие). Главное чтобы вложение денег обеспечивало доход, т. е. увеличение вложенной суммы.

Пример 1. Банк выплачивает 5 % годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле $100, вложенные сейчас, через год станут:

=$100 (1+0, 05)=$105.

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит

или

Процесс наращения стоимости $100 по годам можно пред­ставить в виде таблицы:

Год	Обозначение	Стоимость денег
	P	100.0
		105.0
		110.25
		115.76
		121.55
		127.63

Настоящее современное значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

Пример 2. Пусть инвестор хочет получить $200 через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%.

Понятно, что формула лежит в основе процесса дис­контирования. И в этом смысле величина r трактуется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.

Рассмотренный пример можно интерпретировать следую­щим образом:

$181, 40 и $200 — это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени: $200 через 2 года рав­ноценны $181, 40 сейчас.

Вопрос 3

В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением вре­мени обесценивает стоимость денежных средств. Это обуслов­лено тем, что инфляционный рост индекса средних цен вызы­вает соответствующее снижение покупательной способности денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных пото­ков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использовать два основных понятия:

• номинальная сумма денежных средств;

• реальная сумма денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств не учитывает измене­ния покупательной способности денег.

Реальная сумма денеж­ных средств — это оценка данной суммы с учетом изменения покупательной способности денег вследствие инфляции.

В финансово-экономических расчетах, связанных с инвес­тиционной деятельностью, инфляция учитывается в следующих случаях:

• при корректировке наращенной стоимости денежных
средств;

• при формировании ставки процента (с учетом инфляции),
используемой для наращения и дисконтирования;

• при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитываю­щих темпы инфляции.

При оценке инфляции используются два основных пока­зателя:

• темп инфляции Т, характеризующий прирост среднего
уровня цен в рассмотренном периоде, выражаемый десятичной
дробью;

• индекс инфляции I (изменение индекса потребительских
цен), который равен 1 + Т.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле

где — реальная будущая стоимость денег;

F_n — номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r – номинальная ставка процента, учитывающая инфляцию, то реальная сумма денег рассчитывается по формуле:

Пример 3. Пусть номинальная ставка процента с учетом ин­фляции составляет 50 %, а ожидаемый темп инфляции в год — 40 %. Необходимо определить реальную будущую стоимость объема инвестиций, равного 200 000 т. через 2 года

Подставляя данные в формулу:

Если же в процессе реального развития экономики темп инфляции составит 55 %, то

Таким образом, инфляция " съедает" и прибыльность, и часть основной суммы инвестиции, а процесс инвестирования ста­новится убыточным.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три варианта:

1) r = Т: наращения реальной стоимости денежных средств
не происходит, так как прирост их будущей стоимости погло­щается инфляцией;

2) r > Т: реальная будущая стоимость денежных средств возрастает несмотря на инфляцию;

3) r < Т: реальная будущая стоимость денежных средств снижается, т. е. процесс инвестирования становится убыточ­ным.

Взаимосвязь номинальной и реальной процентных ставок. Пусть инвестору обещана реальная прибыльность его вло­жений в соответствии с процентной ставкой 10 %. Это озна­чает, что при инвестировании 1000 грн. через год он получит 1000 (1+0, 10) = 1100 грн. Если темп инфляции составляет 25 %,

Вопрос 4

Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет боль­шую продолжительность в практике анализа эффективности ка­питальных вложений, обычно приходится иметь дело не с еди­ничными денежными суммами, а с потоками денежных средств.

Вычисление наращенной и дисконтированной оценок сумм денежных средств в этом случае осуществляется путем исполь­зования формул для каждого элемента денежного потока.

Денежный поток принято изображать на временной линии:

0 1000 1000 1500 1000

Годы

0 1 2 3 4

-$2000

Представленный на рисунке денежный поток отображает следующее: в настоящее время выплачивается (знак " минус") S2000, в первый и второй годы будет получено по $1000, в третий — $1500, в четвертый — снова $1000.

Элемент денежного потока принято обозначать

CF_k (от Cash Flow),

где к — номер периода, в котором рассматрива­ется денежный поток.

Настоящее значение денежного пото­ка обозначено PV (Present Value), а будущее значение — FV (Future Value).

Используя формулу для всех элементов денежного потока от 0 до п, получим его будущее значение:

Пример 4. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1000 в год. Сэкономленные деньги предполагается помещать на депозитном счете (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счете предприятия?

Решим задачу с использованием временной линии:

0 1 2 3 4 5

10% Годы

1000 1000 1000 1000 1000

1050

1102

Таким образом, через 5 лет предприятие накопит $5526, ко­торые сможет инвестировать.

В данном случае денежный поток состоит из одинаковых де­нежных сумм ежегодно. Такой поток называется аннуитетом. Для вычисления будущего значения аннуитета используется формула

которая следует из предыдущей формулы, при CF_k- const и CF₀= 0.

Будущее значение аннуитета можно рассчитать с помощью специальных финансовых таблиц. В частности, при r = 5 % и п. = 5 получаем множитель 5526, который соответствует ре­зультату расчета примера.

Дисконтирование денежных потоков осуществляется путем многократного использования формулы, что в итоге при­водит к следующему выражению:

Дисконтирование аннуитета осуществляется по формуле:

Рекомендуемая литература:

1. Екеева З.Ж. – Анализ проектов: учебное пособие для ВУЗов. - Алматы: Алматинская Академия Экономики и статистики. 2005г.

2. Абрамов А.Е Основы анализа финансовой, хозяйственной и инвестиционной деятельности предприятия. – М.: АКДИ «Экономика и жизнь», 1994г.

3. Кулекеев Ж., Зиябеков Б. Введение в проектный анализ. – А.. 1996г.

4. Липсиц И.В. Бизнес- план- основа успеха. – М.: Дело. 1994г.