Интегралы от неограниченных функций.

Если функция интегрируема при и , то несобственным интегралом второго рода от функции на отрезке называется и обозначается , т.е. . Аналогично, в случае и : .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Тема 4. Кратные интегралы.

Замкнутую область , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , будем называть элементарной в направлении оси и обозначать (рис.8).

Замкнутую область , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , будем называть элементарной в направлении оси и обозначать (рис.9).

Рис.8 Рис.9

Область, элементарная в направлении одной из осей, не обязана быть элементарной в направлении другой.

Выражение называется повторным интегралом от

функции по области , а выражение называется повторным интегралом от функции по области .

В повторных интегралах сначала вычисляются внутренние интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешняя переменная считается постоянной. В результате получится подынтегральная функция для внешнего интеграла, интегрируя которую получим число.

Имеет место равенство = , если . Если не является множеством такого вида, то при изменении порядка интегрирования, её представляют в виде конечного объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Тогда в силу аддитивности повторный интеграл по области будет равен сумме повторных интегралов по областям .

Представление области в виде , часто существенно упрощается при изображении области на чертеже.

Двойным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой области называется число , где , и суммирование ведётся по тем значениям и , для которых .

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Если не является множеством такого вида, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла

.

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями , , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

Если область имеет вид , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , то двойной интеграл , где , вычисляется по формуле . Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

Площадь области вычисляется по формуле . При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

Среднее значение непрерывной функции в области вычисляется по формуле .

Объём υ цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область , вычисляется по формуле υ . При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула υ , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

Тема 5. Числовые ряды.

Выражение вида , где - последовательность чисел, называется числовым рядом и обозначатся . Ряд называется остатком -ого порядка исходного ряда и обозначается . Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел и расходящимся, если предел не существует. Число называется суммой сходящегося ряда, при этом пишут . Одновременно с рядом сходится и расходится его остаток . В случае сходящегося ряда его остаток записывают в виде .

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости ряда ). Обратное утверждение неверно.

Если , то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Признак сравнения. Если для рядов и , начиная с некоторого , для всех выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Еслисуществует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если ~ при ), то ряды и (, начиная с некоторого ) сходятся или расходятся одновременно.

Для применения признаков сравнения необходимо наличие «эталонных» рядов, сходимость или расходимость которых известна. В качестве «эталонных» рядов широко используются: 1) обобщённый гармонический ряд , который сходится при и расходится при ; 2) геометрический ряд , который сходится при , при этом его сумма равна и расходится при . Таким образом, для применения признаков сравнения нужно найти последовательность или , где - некоторые числа, такую, что ~ или ~ при .

Полезно иметь в виду эквивалентности (при , ):

~ ~ ~ ~ ~ ,

~ ,

а также оценки (), имеющие место, начиная с некоторого , для всех .

Признак Даламбера. Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

Признак Коши (радикальный). Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

При применении признака Коши полезно иметь в виду, что: , , , где - многочлен порядка относительно .

Интегральный признак Коши. Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд сходится. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при перестановке членов ряда. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому числу.

Если ряд абсолютно сходится, то он является сходящимся (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Для исследования ряда на абсолютную сходимость используют известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд сходится абсолютно, если или . В общем случае из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Но если или , то расходится не только ряд , но и ряд .

Ряд называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда () модуль его общего члена монотонно стремится к нулю, т.е. выполнены условия: 1) (может начать выполняться начиная с некоторого ); 2) , то знакочередующийся ряд сходится (по крайней мере условно). Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .

Сумму знакочередующегося ряда с заданной степенью точности вычисляют по приближённой формуле , где - минимальный из номеров, дл которых .

Тема 6. Функциональные последовательности и ряды.

Выражение вида , где - последовательность функций, определённых на одном и том же множестве , называется функциональным рядом, определённым на и обозначается . Функция называется -ой частичной суммой функционального ряда.

Точка , в которой сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество , состоящее из всех точек сходимости функционального ряда, называется его областью сходимости. Область сходимости функционального ряда обычно уже, чем область его определения .

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всех сходится ряд . Всякий ряд, абсолютно сходящийся на множестве , сходится на этом множестве. Область абсолютной сходимости ряда обычно уже его области сходимости .

Функцию , определённую в области сходимости функционального ряда такую, что при любом фиксированном , называют суммой ряда и пишут . При остаток ряда представляет собой также функцию , где при и при любом .

Для нахождения области сходимости ряда применяют известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.

В частности, на основании признаков Даламбера и Коши (радикального) можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если и , соответственно, и расходится, если . В точках , в которых , сходимость ряда исследуют с помощью других признаков (например, признаков сравнения, интегрального признака Коши, признака Лейбница).