Тема 9. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где - искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где - заданная функция переменных и , называется ДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать в дифференциальной форме: , где и - заданные функции переменных и .

Условие , где , -заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной , такое, из которого при надлежащем выборе значения постоянной можно получить решение , удовлетворяющее заданному начальному условию . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной (при этом не исключаются и значения ). Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.

Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).

ДУ вида называется уравнением сразделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида или называется уравнением с разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или , сводится (с учётом ) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.

При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или . Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения ) или являются особыми решениями.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл ; 2) найти то частное решение (частный интеграл ) которое удовлетворяет заданному начальному условию .

Дифференциальное уравнение вида или , где и - однородные функции одинаковой степени, называется однородным.

Функция , обладающая свойством при всех , называется однородной функцией степени .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , или , где - новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функции и возвращаясь к искомой функции , находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки , использовать подстановку , где - новая неизвестная функция.

Уравнение вида называется линейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называется однородным линейным уравнением.

Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой , , где и - неизвестные функции от . Уравнение тогда примет вид . Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его частного решения , где - какая-нибудь первообразная для . Подставив затем найденное выражение в уравнение , получим уравнение с разделяющимися переменными , из которого найдём в виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде .

Уравнение вида , где и , называется уравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли, также как и линейного, находится подстановкой .

Тема 10. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида , где - искомая функция, называется дифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения.

Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называют нормальной.

Условия , , …, , где , , , …, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Частным решением ДУ -го порядка называется решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Частное решение, заданное в неявном виде, называется частным интегралом.

Если для искомого частного решения уравнения заданы начальные условия , , …, и известно общее решение уравнения, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений

.

Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде

.

Уравнение вида , , не содержащее явно искомой функции , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению порядка .

Функции , , …, называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные , , …, , не все равные нулю, такие, что для всех . Если равенство выполняется для всех только при условии , то данные функции называются линейно независимыми на .

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением ( ЛДУ ) -го порядка, где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение называется однородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид .

Любая система из линейно независимых частных решений , , …, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , …, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , ; 4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности , то ей в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , , , , .

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , , …. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).

Частное решение уравнения с любой правой частью может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде , где неизвестные функции , определяются из системы уравнений:

.

Тема 11. Системы дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений вида , где - искомые функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Число называется порядком системы. Совокупность функций , , …, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.

Условия , , …, , где , , , …, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения нормальной системы уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:

, , …, ,

зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , …, . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом системы.

Частным решением системы называется решение , , …, , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Если для искомого частного решения системы заданы начальные условия , …, и известно общее решение ,, …, системы, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений .

Нормальные системы ДУ с небольшим числом уравнений решают методом исключения неизвестных функций приводя их к одному дифференциальному уравнению -го порядка или к нескольким уравнениям порядка, меньшего чем .

Для нахождения решения, например, нормальной системы двух уравнений , , где , - неизвестные функции независимой переменной поступают следующим образом. Сначала дифференцируют по первое из уравнений системы и получают уравнение . Затем определяют из первого уравнения системы и подставляют найденное выражение в уравнение . В результате получают ДУ второго порядка относительно неизвестной функции , решая которое находят , где и -произвольные постоянные. Подставляя в формулу , определяют функцию . Совокупность функций , даёт общее решение системы.

Тема 12. Обыкновенные разностные уравнения.

Если неизвестная функция и заданная функция являются функциями одного целочисленного аргумента , то уравнение вида , , где - постоянные коэффициенты, называется линейным разностным уравнением ( ЛРУ ) го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называется однородным.

Функция , , обращающая разностное уравнение в тождество, называется его решением.

Условия , , …, , где , , …, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением РУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , , …, . Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .

Общее решение однородного ЛРУ -го порядка ищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения , в виде , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядка называется любая система из линейно независимых частных решений , , …, этого уравнения.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение разностного уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , …, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , , где , .

Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного разностного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , , …. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где - искомые функции, - заданные функции целочисленного аргумента , . Число называется порядком системы. Совокупность функций , , …, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.

Условия , , …, , где , , …, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:

, , …, ,

зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , , …, .

Частным решением системы называется решение , , …, , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .