При двухосном (плоском) напряженном состоянии.

Пусть имеем двухосное напряженное состояние, изображенное на

рис. 3.2, а, соответствующее двухосному растяжению. Проведем произвольное наклонное сечение, нормаль к которому составляет положительный угол с направлением σ 1. Выделим бесконечно малую треугольную призму и рассмотрим ее

равновесие. Приложим к выделенной призме напряжения, которые действовали по граням элементарного параллелепипеда, и напряжения и положительного направления в наклонном сечении. Пусть площадь наклонного сечения равна dA. Тогда площадь грани, где действует напряжение σ 1, будет равна dA , а площадь грани, где

действует напряжение σ 2, -dA .

Спроектируем все силы на направление нормали n.

(3.1)

Спроектируем все силы на направление касательной t.

(3.2)

Из формул (3.1) и (3.2) можно определить значения напряжений на взаимно перпендикулярной площадке, подставив вместо α угол α + ;

(3, 3)

(3, 4)

Из формул (3.2) и (3.4) видно, что

Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между и называется законом парности касательных напряжений.

Из формулы (3.2) видно, что максимальные касательные напряжения

при двухосном растяжении будут при угле относительно главных напряжений и ,

Сложив выражения (3.1) и (3.3), получим

Сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках является величиной постоянной.

А теперь рассмотрим общий случай плоского напряженного состояния (рис. 3.3), когда по граням элементарного параллелепипеда действуют нормальные и касательные напряжения.

Выделим из элементарного параллелепипеда элементарную треугольную призму (рис. 3.3, б), приложим к граням действующие касательные и нормальные напряжения, причем касательное напряжение на площадке, где действует нормальное напряжение, принято положительным,

Также приняты положительными и в наклонном сечении.

Угол поворота нормали отсчитываем от направления и показываем положительным, т.е. нормаль nповернута по отношению к против часовой стрелки. По модулю , но на рисунке оно показано отрицательным на основании закона парности касательных напряжений.

Составим уравнения равновесия элементарной призмы.

Спроектируем все силы на направление нормали n. Площадь наклонного сечения – dA, грани, по которой действуют и , –dA* , а грани, по которым действуют и , -dA*

Еще раз подтверждаем, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная.

Следовательно, если по одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальные значения, то по другой они имеют минимальные значения.

17. Определение напряжений в наклонных сечениях при плоском напряжённом состоянии.

Выделим на теле элементарный параллелепипед. Пусть по его граням действуют только два главных напряжения  1и  2, а  3= 0, что соответствует плоскому напряженному состоянию. Определим относительные линейные деформации ребер параллелепипеда, используя принцип независимости действия сил.

Эти уравнения перепишем несколько в другом виде и решим их относительно главных напряжений и

Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани

элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, т.е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, действуют также и касательные. Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменение прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид

Выражения (3.15), (3.17), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при плоском напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука при плоском напряженном состоянии. Аналогичные зависимости могут быть получены и для объемного напряженного состояния:

Уравнения (3.18) выражают обобщенный закон Гука при объемном

напряженном состоянии.

Под действием внешней нагрузки изменяется объем тела.