Симетрія відносно прямої та площини

Означення. Нехай l – фіксована пряма, Х – довільна точка. Проведемо пряму , перпендикулярну до прямої l, і від їх точки перетину відкладемо відрізок ', що дорівнює відрізку . Побудована так точка ' називається симетричною точці відносно прямої l, а перетворення фігури F у фігуру F', при якому кожна її точка переходить у точку ', симетричну відносно прямої l, називається перетворенням симетрії відносно прямої l. Самі фігури F і F' називаються симетричними відносно прямої l.

Означення. Якщо перетворення симетрії відносно прямої l переводить фігуру F саму у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої l, а пряма l називається віссю симетрії фігури F.

Перетворення симетрії відносно прямої l позначають символом , причому, якщо точка ' фігури F' є образом точки Х фігури F' при симетрії , то це записують так: (Х) = Х'.

З означення симетричних точок, фігур і перетворення симетрії відносно прямої l площини випливають такі властивості:

1.Для кожної прямої l площини існує симетрія відносно цієї прямої.

2.Для різних точок Х, Х' площини існує така єдина симетрія , що (Х) = Х', (Х') = Х; пряма l перпендикулярна до відрізка ХХ' і проходить через його середину.

3.При перетворенні симетрії відносно прямої l кожна точка цієї прямої і сама пряма l переходять самі в себе, тобто залишаються нерухомими; переходять самі в себе і прямі, перпендикулярні до прямої l, причому півпряма кожної з них, що розташована по один бік від прямої l, переходить у півпряму, розміщену по другий бік від прямої l.

4.При перетворенні симетрії відносно прямої відрізок переходить у рівний йому відрізок, півпряма – у півпряму, пряма – в пряму, причому зберігається порядок взаємного розташування точок; кут переходить у рівний йому кут, одна з півплощин – у другу півплощину і навпаки.

5.Симетрія відносно прямої на площині змінює орієнтацію фігури.

Симетрію відносно площини σ позначають , причому якщо точка А' є образом точки А при такій симетрії, то записують: (А) = А'.

Основні властивості такої симетрії:

1.Точки, які лежать у площині симетрії σ, і тільки вони, нерухомі.

2.При симетрії відносно площини пряма перетворюється в пряму, причому пряма, яка лежить у площині симетрії, залишається нерухомою; пряма, перпендикулярна до площини симетрії, перетворюється в себе, причому одна півпряма переходить у другу і навпаки.

3.При симетрії відносно площини площина відображається в площину, причому якщо площина, перпендикулярна до площини симетрії, то вона відображається сама на себе.

4.При симетрії відносно площини тетраедр перетворюється в рівний тетраедр протилежної орієнтації.

Симетрія відносно прямої у просторі не змінює орієнтації фігури. Нерухомими елементами симетрії відносно прямої l у просторі є точки цієї прямої, прямі і площини, перпендикулярні до неї, і площини, які проходять через цю пряму.