Властивості центральної симетрії

Означення. Фігура F', утворена з усіх точок, симетричних точкам фігури F відносно даної точки О, називається симетричною фігурі F відносно точки О.

Означення. Перетворення фігури F у фігуру F', при якому довільна точка Х фігури F переходить у симетричну відносно деякої точки О точку Х' фігури F', називається перетворенням симетрії відносно точки О.

Позначається це перетворення через , причому, якщо точка Х' є образом точки Х, то (Х) = Х'.

З означення симетрії відносно деякої точки випливають такі властивості:

1.Для кожної точки О прямої, площини або простору існує центральна симетрія .

2.Для різних точок Х і Х' прямої, площини або простору існує така єдина симетрія , що (Х) = Х'. Центр симетрії - середина О відрізка ХХ'. Отже, центральна симетрія може бути задана або центром симетрії, або двома відповідними точками.

3.Центральна симетрія відображає фігуру F на фігуру F', причому різні точки першої фігури перетворюються в різні точки другої. Тому центральна симетрія є взаємно однозначним відображенням відносно її центра О.

4.Перетворення фігури F у фігуру F' називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X, Y фігури F у точки X', Y' фігури F' так, що XY = X'Y'. Отже, перетворення симетрії відносно точки є рух.

5.Точки, які лежать на прямій, переходять у результаті руху в точки, що також лежать на прямій, причому зберігається порядок їх взаємного розміщення.

6.Єдина нерухома точка перетворення симетрії відносно точки О – сама ця точка (центр симетрії). Нерухомою є також пряма, що проходить через центр симетрії, причому кожна точка прямої, що лежить по один бік від точки О, переходить у точку, що лежить по другий бік від точки О. Нерухомою є й кожна площина простору, що проходить через центр симетрії, причому нерухомою точкою такої площини є тільки центр симетрії.

7.Центральна симетрія на площині не змінює орієнтації трикутника.

8.Центральносиметричні трикутники, які не лежать в одній площині, мають протилежну орієнтацію.