Тема 9. Классические статистические распределения

Распределение молекул идеального газа по скоростям и энергиям (распределение Максвелла). Определение интегральных параметров системы по распределению молекул. Опыты Штерна и Ламмерта. Распределение молекул в поле потенциальных сил (распределение Больцмана). Барометрическая формула. Определение Перреном постоянной Авогадро. Атмосфера Земли и других планет.

Курсант должен знать:

1. Физический смысл функции распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

2. Законы распределения молекул по скоростям и энергиям.

3. Как графически изображаются кривые распределения молекул по скоростям и энергиям.

4. Что называют наиболее вероятной скоростью.

5. Чему равны средняя арифметическая, средняя квадратичная и наиболее вероятная скорости.

6. Что выражает барометрическая формула.

7. Какую функцию называют распределением Больцмана и как она связана с барометрической формулой.

Курсант должен уметь: 1) находить с помощью закона распределения молекул по скоростям и энергиям распределения молекул по относительным скоростям и относительным энергиям; 2) вычислять средние значения скоростей, энергий и других физических величин; 3) выводить формулу зависимости атмосферного давления от высоты.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Как должна изменяться с высотой термодинамическая температура для того, чтобы атмосферное давление не зависело от высоты?

2. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше его плотности на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К.

3. Определить силу F, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение n ₁/ n ₂ концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстояние 1 м, равно e (e – основание натуральных логарифмов). Температуру T считать во всех точках одинаковой и равной 300 К.

4. Какие предположения делаются в законе распределения молекул газа по скоростям и энергиям теплового движения?

5. Каков физический смысл функции распределения молекул по скоростям? по энергиям?

6. Как, зная функцию распределения молекул по скоростям теплового движения, перейти к функции распределения по энергиям?

7. Зная функцию распределения молекул газа по скоростям теплового движения, определите их наиболее вероятную скорость.

8. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0, 35 кг/ м³.

9. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям f (υ), найти закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям f (u), где u = υ /υ _в – относительная скорость.

10. Используя закон распределения идеального газа по относительным скоростям (см. предыдущую задачу), определить, какая доля молекул кислорода, находящегося при температуре t = 0 ˚ C, имеет скорости от 100 до 110 м/ с.

Литература основная: [1], [2], [5], [9], [11], [13], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [25] - [29].

Тема 10. Элементы неравновесной термодинамики.
Кинетические явления

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах. Теплопроводность. Закон Фурье. Диффузия. Закон Фика. Внутреннее трение. Закон Ньютона. Понятие о свойствах разреженных газов.

Курсант должен знать:

1. Что такое эффективный диаметр и средняя длина свободного пробега молекул.

2. Чему равны средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений молекул.

3. Эмпирические уравнения явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения.

4. Чему равны коэффициенты теплопроводности, диффузии, внутреннего трения и какая связь между ними.

5. Какое состояние газа называют вакуумом.

Курсант должен уметь объяснять явления переноса с точки зрения молекулярно-кинетической теории.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 200 нм, температура газа 0 ˚ С. Найдите коэффициент диффузии D.

2. Какое количество водорода продиффундирует через площадку S = = 2 м² за время ∆ t = 1 ч, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 10^–5 кг/м⁴? (Коэффициент диффузии взять из решения первой задачи). Ответ записать для массы, количества вещества и числа молекул.

3. Найти зависимость коэффициента диффузии D от давления при следующих процессах: а) изотермическом; б) изохорном.

4. Найти зависимость коэффициента диффузии D от температуры при следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном.

5. Вязкость воздуха при нормальных условиях равнаη = 0, 18 мПа∙ с. Найти коэффициент диффузии.

6. Между двумя коаксиальными цилиндрами, радиусы которых R ₁ = 7 см и R ₂ = 7, 2 см соответственно, а длина l = 20 см, находится воздух. Внутренний цилиндр неподвижен, а наружный вращается относительно оси симметрии с частотой n = 10 с^–1. Вязкость воздуха η = 0, 18 мПа∙ с. Определить касательную силу, действующую на поверхность внутреннего цилиндра, и момент этой силы.

7. Найти зависимость коэффициента вязкости η от температуры при следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном.

8. Найти зависимость коэффициента вязкости η от давления при следующих процессах: а) изотермическом; б) изохорном.

9. Между двумя параллельными пластинами находится воздух. Коэффициент теплопроводности воздуха λ = 13· 10^–3 Вт/ (м · К). Расстояние между пластинами l = 0, 1 см, площадь каждой пластины S = 0, 2 м², разность температур пластин ∆ Т = 100 К. Какое количество тепла передается от пластины к пластине за 1 с в результате теплопроводности воздуха?

10. Найти зависимость коэффициента теплопроводности λ от температуры при следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном.

Литература основная: [1], [2], [5], [9], [11], [13], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [25] - [29].

Тема 11. Основы термодинамики. Внутренняя энергия
как термодинамическая функция состояния

Число степеней свободы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия как термодинамическая функция состояния. Работа газа при изменении объема. Количество теплоты. Теплоемкость. Классическая молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей идеальных газов и ее ограниченность.

Курсант должен знать:

1. Как определяется положение в пространстве одно-, двух-, трех- и многоатомных молекул.

2. Как формулируется закон равномерного распределения молекул по степеням свободы.

3. Чему равна внутренняя энергия идеального газа.

4. Как вычисляется работа газа при изменении объема.

5. Что такое теплоемкость; что называют удельной и молярной теплоемкостью, какая связь между ними.

6. От чего зависит теплоемкость.

Курсант должен уметь: 1) объяснять, что такое внутренняя энергия идеального газа; 2) вычислять работу газа при изохорном, изобарном и изотермическом процессах; 3) пояснять ограничения классической молекулярно-кинетической теории теплоемкостей идеальных газов.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Чему равно число степеней свободы молекулы углекислого газа СО₂?

2. Чему равна средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

3. Вычислить молярные теплоемкости С _р и С _v, а также отношение этих теплоемкостей γ для идеального газа: а) с одноатомными молекулами; б) двухатомными жесткими молекулами; в) двухатомными упругими молекулами; г) трехатомными жесткими молекулами (атомы которых не лежат на одной прямой).

4. Каковы удельные теплоемкости с _v и с _р смеси газов, содержащей кислород массой 10 г и азот массой 20 г?

5. Определить удельную теплоемкость с _р смеси кислорода количеством вещества 2 моль и азота количеством вещества 4 моль.

6. Найти показатель адиабаты γ смеси водорода и неона, если массовые доли обоих газов в смеси одинаковы и равны ω = 0, 5.

7. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить: 1) количество тепла, поглощенного газом; 2) изменение внутренней энергии; 3) работу расширения газа.

8. Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода массой 5 г, взятого при температуре 290 К, если объем газа увеличивается в три раза?

9. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определить работу расширения, если пару передано количество тепла 4 кДж.

Литература основная: [1], [2], [5], [9], [11], [13], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [25] - [29].

Тема 12. Первое, второе и третье начала термодинамики.
Энтропия как термодинамическая функция состояния

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам. Уравнение Майера. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона. Политропный процесс. Показатель политропы. Обратимые и необратимые процессы. Циклы. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД. Второе начало термодинамики. Независимость КПД цикла Карно от природы рабочего тела. Энтропия. Теорема Нернста (третье начало термодинамики). Неравенство Клаузиуса. Статистическое толкование энтропии.

Курсант должен знать:

1. Как формулируется и записывается первое начало термодинамики.

2. Какое соотношение называют уравнением Майера и физический смысл этого уравнения.

3. Чему равна работа при адиабатном процессе.

4. Что называется показателем адиабаты (коэффициентом Пуассона).

5. Уравнение адиабаты.

6. Какой процесс называется политропным.

7. Чему равен термический КПД для кругового процесса.

8. В чем смысл второго начала термодинамики, и какие его формулировки известны.

9. Как формулируется третье начало термодинамики.

10. Термодинамическое и статистическое определения энтропии.

Курсант должен уметь: 1) записывать первое начало термодинамики для изопроцессов и адиабатного процесса; 2) выводить и пояснять уравнение Майера; 3) получать уравнение Пуассона; 4) анализировать уравнение политропы; 5) графически изображать и пояснять основные процессы при цикле Карно; 6) выводить формулу КПД этого цикла; 7) находить изменение энтропии при различных процессах.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. При каком из процессов совершается большая работа: а) изохорном; б) изотермическом; с) изобарном; д) адиабатическом? Почему?

2. Почему малое количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе, является неполным дифференциалом?

3. Что такое вечный двигатель второго рода?

4. Водород массой m = 200 г расширяется от объема V ₁ = 1 м³ до объема V ₂ = 1, 1 м³ при постоянном давлении р = 100 кПа. Найти: а) количество теплоты, переданное газу; б) работу, совершаемую газом; в) изменение внутренней энергии газа; д) изменение его температуры.

5. Азот массой 2 кг, находящийся при температуре 288 К, сжимают: 1) изотермически; 2) адиабатно. При этом давление увеличивается в 10 раз. Определить работу, затраченную на сжатие газа в обоих случаях.

6. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от нагревателя тепло Q = 300 кДж. Температуры нагревателя и холодильника равны соответственно Т ₁ = 459 К и Т ₂ = 280 К. Определить работу А, совершаемую рабочим веществом за цикл.

7. Изобразить на диаграмме р, V совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Как ведет себя на различных участках цикла: а) внутренняя энергия; б) энтропия? На каких участках совершаемая газом работа А и полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?

8. Изобразить на диаграмме Т, S совершаемый идеальным газом цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат.

9. Найти приращение энтропии ∆ S при превращении m = 200 г льда, находившегося при температуре –10, 7 ˚ С, в воду при 0 ˚ С. Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. Температуру плавления принять равной 273 К.

10. Найти приращение энтропии ∆ S при конденсации m = 1, 0 кг пара, находившегося при температуре 100 ˚ С, в воду и последующем охлаждении воды до температуры 20 ˚ С. Теплоемкость воды считать не зависящей от температуры. Конденсация происходит при давлении, равном 1 атм.

Литература основная: [1], [2], [5], [9], [11], [13], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [25] - [29].

Тема 13. Реальные газы и пары. Фазовые равновесия
и фазовые переходы

Отступление от законов идеальных газов. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Эффективный диаметр молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса с экспериментальными. Сжижение газов. Фазовые переходы первого и второго рода. Критическое состояние. Внутренняя энергия реального газа.

Курсант должен знать:

1. Чем отличаются реальные газы от идеальных.

2. Характер зависимостей сил и потенциальной энергии взаимодействия молекул от расстояния между ними.

3. Уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа и для произвольного количества вещества.

4. Чему равно внутреннее давление реального газа.

5. Чему равна потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия.

6. Из каких составляющих складывается внутренняя энергия реального газа, и чему она равна.

7. Чем отличаются друг от друга фазовые переходы первого и второго рода.

8. Какой вид имеет диаграмма состояния вещества.

9. В чем суть эффекта Джоуля – Томсона, когда он положителен, отрицателен.

Курсант должен уметь анализировать изотермы Ван-дер-Ваальса и сравнивать их с экспериментальными.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Какие величины, которыми пренебрегают, рассматривая идеальные газы, учитывает уравнение Ван-дер-Ваальса?

2. Какое состояние вещества называется критическим?

3. Можно ли, не охлаждая вещество ниже критической температуры, перевести его в жидкое состояние?

4. Каким способом можно получить пересыщенный пар?

5. У каких веществ равновесный переход из твердой фазы в газообразную происходит при атмосферном давлении, минуя жидкую фазу?

6. Углекислый газ массой 1 кг находится при температуре 17 ˚ С в сосуде объемом 20 л. Определить давление газа и сравнить его с давлением, которое имел бы углекислый газ, если бы он сохранил при рассматриваемых условиях свойства идеального газа. Объяснить различие в результатах. Поправки в уравнении Ван-дер-Ваальса для СО₂ равны: а = 0, 365 Н∙ м⁴/моль²; b = 4, 3· 10^–5 м³/ моль.

7. Кислород, содержащий количество вещества 2 моль, адиабатически расширяется в вакуум, в результате чего его объем увеличивается от 1 до 10 л. Определить приращение температуры газа. Для кислорода постоянная Ван-дер-Ваальса а = 0, 136 Н∙ м⁴/моль².

8. Постоянные Ван-дер-Ваальса для неона равны:
а = 0, 209 Н∙ м⁴/моль²; b = 1, 7∙ 10^–5 м³/моль. Найти критические значения параметров состояния.

9. Критическая температура аргона Т _кр = 151 К, критическое давление р _кр = 4, 86 МПа. Какой собственный объем занимают молекулы одного моля аргона? Определить диаметр одной молекулы аргона.

10. Можно ли 300 г азота, находящегося в сосуде объемом 0, 5 л при температуре 27 ˚ С, считать идеальным газом?

Литература основная: [1], [2], [5], [9], [11], [13], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [25] - [29].