Випадок сил, які мають потенціал

У випадку, коли на механічну систему діють лише консервативні сили, для цієї системи існує силова функція , що залежить лише від координат точок системи. Проте самі координати можуть бути виражені через узагальнені координати і тоді силова функція u при наявності стаціонарних в’язей буде функцією узагальнених координат .

З одного боку, як відомо сума елементарних робіт всіх сил, що діють на точки системи, дорівнює повному диференціалу силової функції, тобто

. (13.3)

З іншого боку: очевидно, що якщо надати механічній системі таке можливе переміщення, при якому водночас отримають елементарні прирости всі її узагальнені координати, то сума елементарних робіт всіх сил при цьому переміщенні може бути визначена так

. (13.4)

Враховуючи, що , рівнянню (4) можна надати такого вигляду

. (13.5)

Порівнюючи (13.3) та (13.5), можна дійти висновку, що в даному випадку

...; . (13.6)

Оскільки потенціальна енергія , де , то рівняння (13.6) набудуть вигляду:

...; (13.7)

або скорочено:

. (13.8)

Узагальнена сила консервативної системи дорівнює взятій із від’ємним знаком частинній похідній від потенціальної енергії за відповідною узагальненою координатою.