Узагальнені сили і способи їх обчислення

Узагальнені координати і кількість ступенів вільності механічної системи

При розв’язанні багатьох задач механіки можна забезпечити суттєве спрощення якщо ввести до розгляду так звані узагальнені координати і відповідні до них узагальнені сили.

Незалежні між собою параметри, що однозначно визначають положення тіла або механічної системи по відношенню до обраної системи відліку, називаються узагальненими координатами цього тілаабомеханічної системи.

В загальному випадку узагальнені координати можуть мати різний геометричний і механічний зміст. Вони можуть бути лінійними і кутовими величинами, а також параметрами, що мають розмірність площі, об’єм.

Кількістю ступенів вільності системи з геометричними в’язяминазивається кількість незалежних узагальнених координат, які дозволяють визначити декартові координати всіх точок системи.

Кількість узагальнених координат механічної системи визначає кількість ступенів вільності цієї механічної системи.

Введення узагальнених координат суттєво полегшує розв’язання задач динаміки. По-перше, самі узагальнені координати є незалежними одна від одної, по-друге, їх введення звільнює нас від необхідності задовольняти рівняння в’язей, бо ці рівняння задовольняються автоматично за самим змістом вибору узагальнених координат.

Узагальнені сили і способи їх обчислення

Введемо поняття про узагальнені сили. Нехай механічна система знаходиться під дією сил . Припустимо, що дана система має s ступенів вільності і її положення по відношенню до вибраної системи відліку визначається узагальненими координатами .

Якщо надати узагальненій координаті нескінченно малого приросту , не змінюючи інших узагальнених координат, то точки даної механічної системи отримають відповідні переміщення . Оскільки накладені в’язі припускають ці переміщення, то сукупність цих переміщень буде одним з можливих переміщень механічної системи.

Якщо тепер визначити роботу сил на відповідних переміщеннях , викликаних приростом узагальненої координати , і розділити на величину цього приросту, то отримаємо величину узагальненої сили:

, (13.1)

звідки

. (13.2)

Отже, узагальненою силою , відповідною до узагальненої координати , називається скалярна величина, що дорівнює відношенню елементарної роботи сил, що діють на механічну систему, на переміщеннях, викликаних елементарним приростом узагальненої координати, до величини цього елементарного приросту.