Примеры решения задач. Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с чет­вертого энергетического уровня на второй

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с чет­вертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение. Для определения энергии фотона вос­пользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

где λ — длина волны фотона; R — постоянная Ридберга; Z — заряд ядра в относительных единицах (при Z = l формула переходит в сериальную формулу для водо­рода); n ₁— номер орбиты, на которую перешел электрон; n ₂ — номер орбиты, с которой перешел электрон (n ₁ и п. ₂— главные квантовые числа).

Энергия фотона е выражается формулой

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на he, получим выражение для энергии фотона:

Так как Rhc есть энергия ионизации E_i, атома водорода, то

Вычисления выполним во внесистемных единицах: E_i = 13, 6 эВ (см. табл. 1 Приложения); Z = 1; n ₁ = 2; n ₂ = 4:

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потен­циалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U ₁ = 51 В; 2) U ₂ = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

где h — постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетиче­ская энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

где m _о — масса покоя частицы. В релятивистском случае

где E₀ = m ₀с² — энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запи­шется:

в нерелятивистском случае

в релятивистском случае

Сравним кинетические энергии электрона, прошедше­го заданные в условии задачи разности потенциалов U ₁ = 51 В и U ₂ = 510кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, про­шедшего ускоряющую разность потенциалов U,

В первом случае T ₁ = eU = 5 l эВ = 0, 51^.10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E _о = m _оc² = = 0, 51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что T ₁ = 10^-4 m _oc². Подставив это выражение в форму­лу (4), перепишем ее в виде

Учитывая, что h/m ₀ c есть комптоновская длина вол­ны Λ, получаем

Так как Λ = 2, 43пм (см. табл. 1 Приложения), то

Во втором случае кинетическая энергия T₂=е U ₂ = = 510 кэВ = 0, 51 МэВ, т.е. равна энергии покоя элект­рона. В этом случае необходимо применить релятивист­скую формулу (5). Учитывая, что T₂ = 0, 51 МэВ = = m _оc², по формуле (5) находим

или

Подставим значение Λ и произведем вычисления:

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10эВ. Ис­пользуя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

где Δ х — неопределенность координаты частицы (в дан­ном случае электрона); Δ р_х — неопределенность импуль­са частицы (электрона); ħ — постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следо­вательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линей­ные размеры /, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде

откуда

Физически разумная неопределенность импульса Δ р_х во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р_х, т. е. Δ р_х≤.р_х. Импульс р_х с вязан с кинети­ческой энергией Т со отношением р_х = . Заменим Δ р_х значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо симво­лов величин подставим обозначения их единиц:

Найденная единица является единицей длины. Произведем вычисления:

Пример 4. Волновая функция опи­сывает основное состояние частицы в бесконечно глубо­ком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероят­ность нахождения частицы в малом интервале Δ l = 0, 01 l в двух случаях: 1 (вблизи стенки) (0≤ х≤. Δ l); 2) в средней части ящика

Решение. Вероятность того, что частица бу­дет обнаружена в интервале dx (от х до х + dх), пропор­циональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей дан­ное состояние, равна

В первом случае искомая вероятность найдется интег­рированием в пределах от 0 до 0, 01 l (рис. 64):

Знак модуля опущен, так как ψ — функция в данном случае не является комплексной.

Так как х изменяется в интервале 0≤ х≤.0, 01 l и, сле­довательно, π x / l< <.l, справедливо приближенное равен­ство

С учетом этого выражения (1) примет вид

После интегрирования получим

Во втором случае можно обойтись без интегрирова­ния, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δ l = 0, 01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность во вто­ром случае определяется выражением

или

Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δ m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.

(1)

где Z — атомный номер (число протонов в ядре); A - массовое число (число нуклонов, составляющих ядро, т ₁, т ₂, m _я — соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса т _анейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m _а= m _я + Zm_e, откуда

(2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получим Δ m = Zm_p + (A —Z)m_n — m _a + Zm _e, или

Замечая, что m _р+ m _е = тн, где m н — масса водорода, окончательно находим

(3)

Подставив в выражение (3) числовые значения (см. табл. 15 и 17 Приложения), получим

В соответствии с законом пропорциональности и энергии E = c²Δ m, (4)

где с — скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с² может бы выражен двояко:

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с² = 931 МэВ/а. е. м. С учетом этого формула (4) примет вид E = 931 Δ m, МэВ (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы Δ называют разность между массой нейт­рального атома данного изотопа и его массовым числом А:: Δ = m _а — А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использова­ние позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В на­стоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Δ m, определяе­мый формулой (1).

Пример 6. При соударении α -частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение. Обозначим неизвестное ядро символом X. Так как α -частица представляет собой ядро гелия, запись реакции имеет вид

Применив закон сохранения числа нуклонов, полу­чим уравнение 4+10= 1+ A, откуда A=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1+ Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода С.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Энергетический эффект Q ядерной реакции определя­ется по формуле

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках — массы ядер — про­дуктов реакции. При числовых подсчетах по этой форму­ле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтраль­ного атома равно его зарядовому числу Z. Сумма заря­довых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер — продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтраль­ных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подста­вив массы атомов (см. табл. 15 Приложения) в расчет­ную формулу, получим

Пример 7. Определить начальную активность A _о радиоактивного препарата магния ²⁷ Mg массой т = 0, 2 мкг, а также его активность А через время t =6ч. Период полураспада T_1/2 магния считать известным.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отно­шением числа dN ядер, распавшихся за интервал вре­мени dt, к этому интервалу.

Знак «— » показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

где N — число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; No — число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0); λ — постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени:

Исключив из формул (1) и (3) dN /dt, находим актив­ность препарата в момент времени t:

Начальную активность А₀ препарата получим при t =0:

Постоянная радиоактивного распада λ, связана с пе­риодом полураспада T _1/2соотношением

Число N _o радиоактивных ядер, содержащихся в изо­топе, равно произведению постоянной Авогадро Na на количество вещества v данного изотопа:

где т — масса изотопа; М — молярная масса.

С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид

Произведем вычисления, учитывая, что T ₁/₂= 10 мин = 600 с (см. табл. 16 Приложения), 1п2 = 0, 693, t = 6ч = 6^.3, 6.10³с = 2, 16.10⁴с:

Пример 8. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при по­стоянном объеме алюминия при температуре T = 200 К. Характеристическую температуру θ _E Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.

Решение. Удельная теплоемкость с вещества мо­жет быть выражена через молярную теплоемкость С_т соотношением

где М — молярная масса.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой

Подставив в (1) выражение теплоемкости С_т по формуле (2), получим

Произведем вычисления:

Пример 9. Определить теплоту Δ Q, необходимую для нагревания кристалла N aC l массой m = 20 г от темпе­ратуры T ₁ = 2 K. до температуры T ₂ = 4К. Характеристи­ческую температуру Дебая θ _D для N aC l принять равной 320 К. и условие T < < θ _D считать выполненным.

Решение. Теплота Δ Q, подводимая для нагрева­ния тела от температуры T ₁ до T ₂, может быть вычислена по формуле

где С_т — теплоемкость тела.

Теплоемкость тела связана с молярной теплоемко­стью соотношением

где m — масса тела; М — молярная масса.

Подставив выражение С_т в формулу (1), получим

В общем случае теплоемкость С_т есть сложная функ­ция температуры, поэтому выносить ее за знак интеграла нельзя. Однако если выполнено условие T < < θ _D, то на­хождение Δ Q облегчается тем, что можно воспользо­ваться предельным законом Дебая, в согласии с кото­рым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамиче­ской температуры:

Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим

Выполним интегрирование:

Переписав полученную формулу в виде

произведем вычисления:

Пример 10. Вычислить максимальную энергию ε _F (энергию Ферми), которую могут иметь свободные элект­роны в металле (медь) при температуре T = 0К При­нять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

Решение. Максимальная энергия ε _f, которую могут иметь электроны в металле при T = 0К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением

где ħ — постоянная Планка; т — масса электрона.

Концентрация свободных электронов по условию за­дачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

где ρ — плотность меди; N_A — постоянная • Авогадро; М — молярная масса.

Подставляя выражение п в формулу (1), получаем

Произведем вычисления:

Пример 11. Кремниевый образец нагревают от тем­пературы t ₁ = 0°C до температуры t ₂ = 10°С. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость?

Решение. Удельная проводимость у собственных полупроводников связана с температурой Т соотноше­нием где γ _o — константа; Δ E — ширина запрещенной зоны.

Следовательно,

Полагая для кремния Δ E =1, 1 эВ, произведем вычис­ления: