Основные формулы

СТО и Квантовая механика

.

Релятивистская масса или

где m₀ — масса покоя частицы; u — ее скорость; с — скорость света в вакууме; b — скорость частицы, выраженная в долях скорости света (b=u/с).

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы , или ,

где Е₀=m₀c²—энергия покоя частицы.

Полная энергия свободной частицы , где Т — кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы , или .

Импульс релятивистской частицы или .

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы .

Закон Стефана—Больцмана ,

где R_e — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черно- го тела; s —постоянная Стефана - Больцмана; Т — термодинамическая температура Кельвина.

Закон смещения Вина

где l_m — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b — постоянная Вина.

Энергия фотона , или ,

где h — постоянная Планка; h^- — постоянная Планка деленная на 2p; n — частота фотона; w — циклическая частота.

Масса фотона ,

где c — скорость света в вакууме; l — длина волны фотона.

Импульс фотона .

Формула Эйнштейна для фотоэффекта

где hu — энергия фотона, падающего на поверхность металла; А—работа выхода электрона; T_max—максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффекта , или ,

где n₀ — минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; l₀ — максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект; h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме.

Формула Комптона ,

или

где l — длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабосвязанным электроном; l^/ — длина волны фотона, рассеянного на угол q после столкновения с электроном; m₀ — масса покоящегося электрона.

Комптоновская длина волны .

Давление света при нормальном падении на поверхность ,

где Е_e — энергетическая освещенность (облученность); w — объемная плотность энергии излучения; r — коэффициент отражения.

Примеры решения задач

Пример 7. Определить импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью u = 0, 9 с, где с — скорость света в вакууме.

Решение. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:

(1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

(2)

где m — масса движущейся частицы; m₀ — масса покоящейся частицы; b = u/c — скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) и приняв во внимание, что u=cb, получим выражение для релятивистского импульса:

(3)

Произведем вычисления:

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя E₀ этой частицы, т. е. Т=Е—Е₀.

Так как E=mc² и E₀=m₀c², то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем или

(4)

Производим вычисления:

Так как во внесистемных единицах m₀ c²= 0, 51 МэВ, то вычисления упрощаются:

Т =0, 51× 1, 29 МэВ =0, 66 МэВ.

Пример 8. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией T=5МэВ.

Решение. Решение задачи сводится к установлению соотношения между релятивистским импульсом р частицы и ее кинетической энергией Т.

Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т. е.

(1)

Зависимость массы от скорости определяется формулой

(2)

Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что m₀c² =E₀, получим

(3)

Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем откуда

. (4)

Очевидно, что

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде E² –p²c² =E₀², откуда релятивистский импульс

.

Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: Е—Е₀ =Т+ Е₀. Легко убедиться, что Е + Е₀= Т + 2 Е₀, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой

.

Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,

Пример 9. Длина волны, на которую приходится мак­симум энергии в спектре излучения черного тела, l₀=0, 58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) R_e поверхности тела.

Решение. Энергетическая светимость R_e абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана— Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

, (1)

где s— постоянная Стефана—Больцмана; Т - термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

, (2)

где b — постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаем . (3)

Произведем вычисления:

.

Пример 10. Определить максимальную скорость u_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны l₁= 0, 155 мкм; 2) g -излучением с длиной волны l₂= 1 пм.

Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: , (1)

где e — энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А — работа выхода; T_max — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

, (2)

где h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме; l — длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

, (3)

или по релятивистской формуле

(4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Ско- рость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэф- фект: если энергия e фотона много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (3), если же e сравнима по величине с Е₀, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

или

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0, 51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

,

откуда

.

Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:

.

Найденная единица является единицей скорости. Подставив значения величин в формулу (5), найдем

2. Вычислим энергию фотона g-излучения:

или во внесистемных единицах

Работа выхода электрона (A = 4, 7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (e₂ = 1, 24 МэВ), поэтому можно, принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: T_max = ε ₂ = 1, 24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем

.

Заметив, что u = cb и T_max = e₂ , получим

.

Произведем вычисления*:

Пример 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол J = 90^°

Энергии Е₀ и e₂ входят в формулу в виде отношения, поэтому их можно не выражать в единицах СИ.

Энергия рассеянного фотона e₂ = 0, 4 МэВ. Определить энергию фотона e₁ до рассеяния.

Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:

. (1)

где Dl= l₂—l₁ — изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h — постоянная Планка; т₀ — масса покоя электрона; с — скорость света в вакууме: J — угол рассеяния фотона.

Преобразуем формулу (1): 1) заменим в ней Dl, на l₂—l₁; 2) выразим длины волн l₁ и l₂ через энергии e₁ и e₂ соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой e = hc/l; 3) умножим числитель и знаменатель Правой части формулы на с. Тогда

,

Сократим на hc и выразим из этой формулы искомую энергию:

(2)

где E₀= m₀ c² — энергия покоя электрона.

Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона E₀ = 0, 511 МэВ, то .

Пример 12. Пучок монохроматического света с длиной волны l = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_e = 0, 6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение. 1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности: . (1)

Световое давление может быть найдено по формуле , (2)

где Е_e – энергетическая освещенность; с - скорость света в вакууме; r - коэффициент отражения.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем .

Так как E_eS представляет собой поток излучения Ф_e то .

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности r= 1:

2. Произведение энергии e одного фотона на число фотонов n_i, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения (потоку излучения): Ф_e = e n_i Энергия фотона e = hc/l, а откуда и

Задачи для самостоятельного решения

8. При какой скорости u релятивистская масса частицы в k = 3 раза больше массы покоя этой частицы?.[2, 83^.10⁸ м/с]

9. Определить скорость u электрона, имеющего кинетическую энергию Т = 1, 53 МэВ. [2, 91 × 10⁸ м/с]

10. Электрон движется со скоростью u = 0, 6 с, где с — скорость света в вакууме. Определить релятивистский импульс р электрона. [2, 0 × 10^{-22 кг} × м/с]

11. Вычислить энергию, излучаемую за время t = 1 мин с площади S = 1 см² абсолютно черного тела, температура которого Т = 1000 К. [340 Дж]

12. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, l_m = 0, 6 мкм. Определить температуру Т тела. [4, 82 кК]

13. Определить максимальную спектральную плотность (r_{l, T})_max энергетической светимости (излучательности), рассчитанную на 1нм в спектре излучения абсолютно черного тела. Температура тела Т = 1 К. [13 Вт/ (м²× нм)']

14. Определить энергию e, массу m и импульс р фотона с длиной волны l = 1, 24 нм. [1, 60 × 10^-16 Дж; 1, 78 ^.10^{-33 кг; 5, 35}× 10^{-25 кг м/с]}

15. На пластину падает монохроматический свет (l = 0, 42 мкм). Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 0, 95 В. Определить работу А выхода электронов с поверхности пластины. [2 эВ].

16. На цинковую пластину падает пучок ультрафиолетового излучения (l = 0, 2 мкм). Определить максимальную кинетическую энергию Т_max и максимальную скорость u_max фотоэлектронов. [2, 2 эВ; 8, 8 × 10⁵ м/с]

17. Определить максимальную скорость u_max фотоэлектрона, вырванного с поверхности металла g - квантом с энергией e = 1, 53 МэВ [2, 91 • 10⁸ м/с]

18. Определить угол J рассеяния фотона, испытавшего соударение со свободным электроном, если изменение длины волны при рассеянии Dl = 3, 63 пм. [120°]

19. Фотон с энергией e₁, равной энергии покоя электрона (m₀с²), рассеялся на свободном электроне на угол J =120°. Определить энергию e₂ рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи (в единицах m₀с²). [0, 4 m₀с²; 0, 6 m₀с²]

20. Поток энергии, излучаемой электрической лампой, Ф_е = 600 Вт. На расстоянии r = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Определить силу F светового давления на зеркальце. Лампу рассматривать как точечный изотропный излучатель. [0, 1 нН]

21. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны l = 0, 663 мкм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление р = 0, 3 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке. [10¹² м ^-3]

Контрольная работа 5. Таблицы вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ

531. Частица движется со скоростью υ = с /3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

532. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс α -частицы.

533. При какой скорости β (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в n = 3 раза больше массы покоя?

534. Определить отношение релятивистского импульса p -электрона с кинетической энергией Т = 1, 53 МэВ.к комптоновскому импульсу m ₀cэлектрона.

535. Скорость электрона υ = 0, 8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в МэВ, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.

536. Протон имеет импульс р = 469 МэВ/с ( кг^.м/с). Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно со­общить протону, чтобы его релятивистский импульс воз­рос вдвое?

537. Во сколько раз релятивистская масса m элек­трона, обладающего кинетической энергией Т = 1, 53 МэВ, больше массы покоя m _о?

538. Какую скорость β (в долях скорости света) нуж­но сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия бы­ла равна удвоенной энергии покоя?

539. Релятивистский электрон имел импульс р ₁= m ₀c. Определить конечный импульс этого электрона (в еди­ницах m₀с), если его энергия увеличилась в n = 2 раза.

540. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его им­пульс увеличится в п = 2 раза.

541. Вычислить истинную температуру Т вольфрамо­вой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Tрад = 2, 5 кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна α = 0, 35.

542. Черное тело имеет температуру T₁ = 500 К. Како­ва будет температура T₂ тела, если в результате нагрева­ния поток излучения увеличится в п = 5 раз?

543. Температура абсолютно черного тела Т = 2 кК. Определить длину волны λ _т, на которую приходится мак­симум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (излучательности) (r _{λ, T}) _{m ах}для этой длины волны.

544. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) R_e абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны λ _т = 600 нм.

545. Из смотрового окошечка печи излучается поток Ф_е = 4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см².

546. Поток излучения абсолютно черного тела Ф_е = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны λ m = 0, 8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.

547. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излуче­ния переместится с красной границы видимого спектра (λ _{m 1}= 780 нм) на фиолетовую (λ _{m 2} = 390 нм)?

548. Определить поглощательную способность ат се­рого тела, для которого температура, измеренная радиа­ционным пирометром, T_Рад = 1, 4 кК, тогда как истинная температура Т тела равна 3, 2 кК.

549. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см². Определить долю η мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 кК.

550. Средняя энергетическая светимость R поверхно­сти Земли равна 0, 54 Дж/(см²- мин). Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициен­том черноты a_T = 0, 25?

551. Красная граница фотоэффекта для цинка λ о = 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию T m ах фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны λ = 200 нм.

552. На поверхность калия падает свет с длиной волны λ = 150 нм. Определить максимальную кинетиче­скую энергию T m ах фотоэлектронов.

553. Фотон с энергией ε = 10 эВ падает на серебряную пластину и вызывает фотоэффект. Определить им­пульс р, полученный пластиной, если принять, что на­правления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин.

554. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны λ = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов U_min, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.

555. Какова должна быть длина волны γ -излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максималь­ная скорость фотоэлектронов была υ _{m aх} =3 Мм/с?

556. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения (λ. = 0, 25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей раз­ности потенциалов U_min = 0, 96 В. Определить работу выхода А электронов из металла.

557. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны λ = 0, 1 мкм. Красная граница фото­эффекта λ о = 0, 3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энер­гии?

558. На металл падает рентгеновское излучение с дли­ной волны λ = 1 нм. Пренебрегая работой выхода, опре­делить максимальную скорость υ _{m ах} фотоэлектронов.

559. На металлическую пластину направлен моно­хроматический пучок света с частотой v = 7, 3^. 10¹⁴ Гц. Красная граница λ о фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость υ _{m a x} фотоэлектронов.

560. На цинковую пластину направлен монохрома­тический пучок света. Фототок прекращается при задер­живающей разности потенциалов U = 1, 5 В. Определить чину волны к света, падающего на пластину.

561. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол θ = я/2. Определить импульс р (в МэВ/с), приобретенный электроном, если энергия фотона до рассеяния была ε ₁ = 1, 02 МэВ.

562. Рентгеновское излучение (λ = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически сво­бодными. Определить максимальную длину волны λ _{m ах} рентгеновского излучения в рассеянном пучке.

563. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол θ = я/2? Энергия фотона до рассеяния ε ₁ = 0, 51 МэВ.

564. Определить максимальное изменение длины волны (Δ λ.) _{m a x} при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.

565. Фотон с длиной волны λ ₁= 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона λ ₂ = 16 пм. Определить угол θ рассеяния.

566. Фотон с энергией ε ₁ = 0, 51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 180°. Определить кинетическую энергию Т электрона отдачи.

567. В результате эффекта Комптона фотон с энер­гией ε ₁ = 1, 02 МэВ рассеян на свободных электронах на угол θ = 150°. Определить энергию ε ₂ рассеянного фотона.

568. Определить угол θ, на который был рассеян квант с энергией ε ₁ = 1, 53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т = 0, 51 МэВ.

569. Фотон с энергией ε ₁= 0, 51 МэВ при рассеянии на свободном электроне потерял половину своей энергии. Определить угол рассеяния θ.

570. Определить импульс р_е электрона отдачи, если фотон с энергией ε ₁ = 1, 53 МэВ в результате рассеяния на свободном электроне потерял '/з своей энергии.

571. Определить энергетическую освещенность (облу­ченность) Е_е зеркальной поверхности, если давление р, производимое излучением, равно 40 мкПа. Излучение падает нормально к поверхности.

572. Давление р света с длиной волны λ = 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь S = 1 мм² этой поверхности.

573. Определить коэффициент отражения ρ поверх­ности, если при энергетической освещенности Е_е = = 120 Вт/м² давление р света на нее оказалось равным 0, 5 мкПа.

574. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, р = 5 мПа. Определить концентрацию п₀ фотонов вблизи поверхности, если длина волны света, падающего на поверхность, λ = 0, 5 мкм.

575. На расстоянии r = 5 м от точечного монохрома­тического (λ = 0, 5 мкм) изотропного источника распо­ложена площадка (S = 8 мм²) перпендикулярно падающим пучкам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения Р = 100 Вт.

576. На зеркальную поверхность под углом α = 60° к нормали падает пучок монохроматического света (λ =590 нм). Плотность потока энергии светового Пучка φ = 1 кВт/м². Определить давление р, производи­мое светом на зеркальную поверхность.

577. Свет падает нормально на зеркальную поверх­ность, находящуюся на расстоянии r = 10 см от точеч­ного изотропного излучателя. При какой мощности Р излучателя давление р на зеркальную поверхность будет равным 1 мПа?

578. Свет с длиной волны λ = 600 нм нормально пада­ет на зеркальную поверхность и производит на нее давление р = 4 мкПа. Определить число N фотонов, падаю­щих за время t = 10 с на площадь S =1 мм² этой поверхности.

579. На зеркальную поверхность площадью S = 6 см² падает нормально поток излучения Ф_с = 0, 8 Вт. Опреде­лить давление р и силу давления F света на эту поверх­ность.

580. Точечный источник монохроматического (λ = 1 нм) излучения находится в центре сферической зачерненной колбы радиусом R = 10 см. Определить световое давле­ние р, производимое на внутреннюю поверхность колбы, если мощность источника Р = 1 кВт.