Множества и операции над ними

1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента множества считаются первичными, не определяемыми через другие понятия (воспринимаемыми интуитивно). Тот факт, что объект x является элементом множества A, записывается, как x ∈ A. Знак ∈ называют знаком включения. Запись xÏ A означает, что x не является элементом множества A.

Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение E).

Говорят, что множество A задано, если относительно любого элемента x ∈ E можно сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству A. Обычно множество задается указанием характеристического свойства его элементов, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они. Множество A элементов x, обладающих свойством P (x), символически записывают в виде A = { x: P (x)}. Например, запись A = { x: x = 2 k, k =1, 2,...} означает, что множество A состоит из четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, ….

Множество A называют подмножеством другого множества B, если каждый элемент множества A является одновременно элементом множества B. В этом случае пишут A ⊂ B или B ⊃ A. Знаки ⊂ и ⊃ также называют знаками включения.

Пример. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных (вещественных) чисел. Имеет место такое последовательное включение: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Множества A и B называются равными (пишут A = B), если A ⊂ B и B ⊂ A, т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.

Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; множество решений системы уравнений x + y =1, x + y =2.

Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества любому множеству; очевидно, также A ⊂ A. A и Æ называют несобственными подмножествами множества A, все остальные подмножества множества A называют собственными.

Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, называемые диаграммами Эйлера (или Эйлера-Венна).

Объединением (иногда говорят – суммой) множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B:

A ∪ B ={ x: x ∈ A или x ∈ B }. В теории вероятностей используют обозначение A + B.

Пример 1. Объединение множества положительных четных чисел и множества положительных нечетных чисел есть множество натуральных чисел.

Пример 2. {0, 1, 3, 5}∪ {1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Пересечением (иногда говорят – произведением) множеств A и B называют множество всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству A и множеству B, т.е. множество всех их общих элементов:

A ∩ B ={ x: x ∈ A и x ∈ B }. В теории вероятностей принято обозначение AB.

Пример 3. {0, 1, 3, 5}∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 3}.

Пример 4. Пусть A – множество всех прямоугольников, B – множество всех ромбов. Что собой представляет множество A∩ B? (Ответ. Множество всех квадратов).

Разностью множеств A и B называют множество тех элементов из A, которые не содержатся в B:

A \ B = { x: x ∈ A и xÏ B }.

Разность E \ A, где E – универсальное множество, называется дополнением множества A и обозначается символом .

2. Формула включений и исключений. Для конечного множества A через n (A) обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю. Для любых конечных множеств A и B справедливо равенство

n (A U B) = n (A) + n (B) − n (A∩ B), (1)

называемое формулой включений и исключений.

Действительно, пусть множества A и B не пересекаются, т.е. n (A ∩ B) = 0. Их объединение получается добавлением к элементам одного множества всех элементов другого множества, поэтому n (A U B) = n (A) + n (B). Если же пересечение множеств A и B не пусто, то число их общих элементов равно n (A ∩ B). Объединение этих множеств образуется добавлением к элементам множества A всех тех элементов множества B, которые не входят в A. Число таких элементов равно n (B) − n (A ∩ B). Таким образом, формула (1) доказана.

Пример. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

Δ Пусть A – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, B – множество абитуриентов, получивших оценки ниже пяти. По условию n (A) = 210, n (B) =180, n (A U B) = 250.

Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество A I B. По формуле (1) находим

n (A I B) = n (A) + n (B) − n (A U B) =140. ▲

Пример. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?

Δ Имеем: n (A) = 47, n (B) = 35, n (A ∩ B) = 23 ⇒ n (A ∪ B) = 47 + 35 − 23 = 59 – число знающих хотя бы один язык; n (A ∪ B) = 67 − 59 = 8 – не знают оба языка. Отв. 8 человек. ▲