Математическая логика

Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Прошло два тысячелетия, прежде чем Г. Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно реализовал в XIX в. англичанин Джордж Буль и тем самым заложил основы математической логики.

Математическая логика – современный вид формальной логики, изучающей правила выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Математическая логика возникла в середине XIX в. для потребностей математики и стала применяться в самых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной деятельности.

1. Доказательства в математике. Что отличает книгу по математике от книги по какому-то другому предмету? Обилие формул? Но они есть и в книгах по физике, астрономии или мостостроению. Наличие доказательств – вот что, прежде всего, отличает математику от других областей знания.

Первую попытку представить в одном труде всю математику предпринял древнегреческий ученый Евклид в III в. до н.э. В результате появилась его знаменитая книга «Начала». В ней впервые при изложении основ элементарной геометрии, теории чисел, алгебры и других разделов античной математики был использован аксиоматический метод.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в том, что некоторые исходные положения, называемые аксиомами или постулатами, принимаются «без доказательства», а все утверждения этой теории выводятся из них путем рассуждений.

«Начала» Евклида составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида в древнегреческой науке: сначала приводятся определения и постулаты, а затем формулировки теорем и их доказательства.

Некоторые определения в «Началах» Евклида – просто описания исходных понятий. Например: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же – длина без ширины», «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». Ясно, что такие «определения» вряд ли могут быть использованы в математических доказательствах. Однако наряду с ними имеются определения, являющиеся таковыми и в современном смысле: они «называют» (т.е. вводят) понятия. Например: «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи неограниченно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».

Вслед за определениями идут постулаты, в которых утверждается возможность выполнения элементарных построений:

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.

III. И чтобы из всякого центра и всяким радиусом можно было описать круг.

IV. И чтобы все прямые углы были равны между собой.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая, падающая на две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых.

За постулатами в началах Евклида приводятся аксиомы – предложения о свойствах отношений равенства и неравенства. Вот примеры аксиом: «Равные порознь третьему равны между собой», «И если к равным прибавить равные, то получим равные», «И целое больше части».

На основе определений, постулатов и аксиом путем доказательства выводятся новые геометрические утверждения – теоремы.

Поскольку предполагалось, что геометрия есть описание реального физического пространства, вполне естественно, что Евклид полагал значение таких понятий, как «точка», «прямая», достаточно ясным, а относящиеся к ним постулаты и аксиомы считал «самоочевидными истинами».

В дальнейшем совершенствование аксиоматического изложения геометрии шло в основном по пути выявления утверждений, которые использовались Евклидом в доказательствах, но не были сформулированы им явно в виде аксиом. Полностью эта работа была завершена лишь в XIX веке немецкими математиками Пашем и Гильбертом.

Вместе с тем, много усилий было потрачено на попытки исключить из числа основных допущений V постулат Евклида, который казался слишком сложным, чтобы его можно было причислить к «самоочевидным истинам». Хотя все попытки доказать V постулат на основе отдельных аксиом оказались неудачными, они все же привели к некоторым положительным результатам. А именно, благодаря им был обнаружен ряд геометрических утверждений, эквивалентных V постулату, в частности, следующее: «Через каждую точку, не лежащую на прямой l, проходит в точности одна прямая, параллельная l».

К началу XIX века начало возникать подозрение о недоказуемости V постулата Евклида. Это подозрение перешло почти в полную уверенность, когда в 1826 году Лобачевский построил геометрическую теорию, основанную на системе постулатов, в которой V постулат Евклида заменен утверждением, несовместимым с ним: «Если на плоскости точка A не лежит на прямой l, то существует более чем одна прямая, проходящая через A и параллельная l». Хотя «истинность» такой аксиомы кажется сомнительной, при выводе следствий из нее Лобачевский не встретил каких-либо противоречий. Это, однако, не означало, что противоречия здесь вообще невозможны.

Следующим событием на пути укрепления позиций неевклидовой геометрии явилось построение различных моделей геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида. Типичным примером такого рода моделей может служить модель, предложенная немецким математиком Феликсом Клейном в 1871 г. В этой модели основные геометрические понятия: плоскость, точка и прямая – интерпретируются соответственно как внутренность какого-нибудь круга в евклидовой плоскости, точка внутри этого круга и хорда этого круга, рассматриваемая без своих концов. В такой интерпретации оказываются истинными все аксиомы геометрии Лобачевского; правда, при этом расстояния и углы измеряются не так, как на обычной евклидовой плоскости, а по правилам, разработанным для проективной геометрии. Подробное описание интерпретации Клейна и других моделей геометрии Лобачевского можно найти в учебных пособиях по высшей геометрии3. Наличие таких моделей показывает, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида.

Построение моделей геометрии Лобачевского имело принципиальное значение для развития аксиоматического метода, поскольку оно привело к осознанию возможности рассматривать аксиоматическую теорию чисто формально, т.е. не предполагая заранее какое-либо определенное значение основных понятий. Более того, мы вольны выбирать значения этих понятий каким угодно образом, лишь бы при этом оказывались истинными данные аксиомы.

В XIX в. аксиоматический метод получил широкое распространение в математике. Итальянский математик Дж. Пеано (1891 г.) предложил аксиоматику для натурального ряда. Были построены аксиоматические теории для действительных чисел. Наконец, была выработана система аксиом для теории множеств. Особенно широкое распространение формальные аксиоматики получили в современной алгебре, где система аксиом по существу выступает в роли определения той или иной алгебраической структуры.

Вторая попытка (представить в одном труде всю математику) состоялась только в XIXв., во Франции, когда некто Никола Бурбаки приступил к изданию многотомного трактата «Элементы математики». На самом деле математика Никола Бурбаки не существовало. Это коллективный псевдоним группы ученых. Вот какой фразой открывает Бурбаки свой труд: «Со времен греков говорить математика – значит, говорить доказательство». Таким образом, слова «математика» и «доказательство» – почти синонимы.

Доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно услышать в суде. Математические доказательства признаются эталоном бесспорности.

Что же такое доказательство в математике? Доказательство – рассуждение, которое убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. Но несмотря на то, что доказательства постоянно используются в математике, четкого определения понятия «доказательства» нет. Это можно объяснить следующим образом. Во-первых, даже в математике нереально определить все. Одни понятия определяются через другие, эти другие – через третьи, третьи – через четвертые.…И так до бесконечности? Нет, где-то приходиться остановиться. В математике существуют неопределяемые понятия (например, понятие множества), которые составляют основу аксиоматического метода. Во-вторых, доказательство не есть математическое понятие, подобное, например, понятию «действительное число» или «многоугольник». По отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее и принадлежит психологии, а отчасти – лингвистике. Однако без него нельзя представить себе математику.

Можно ли предложить классификацию доказательств, т.е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких, иногда многих этапов, и на каждом из них применяется свой способ убеждения. И все же несколько основных, часто повторяющихся схем доказательств выделить удается.

2. Убедительность доказательства. Выдающийся французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.: «Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической строгости».

Понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Убедительность довода исторически обусловлена. Для средневековых судов, например, доказательства виновности или невиновности были очень своеобразны, с нашей точки зрения: если человек мог удержать в руке раскаленное железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, ее объявляли ведьмой. Убедительность математического доказательства имеет те же психологические основы, что и доказательства юридического, а потому так же зависит от исторических обстоятельств.

В средневековой Индии, например, геометрические утверждения доказывали так: предлагали чертеж, под которым стояло всего одно слово «Смотри!». В древних египетских текстах встречаются вычисления простейших площадей, операции с аликвотными дробями. Расчеты приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время не существовало психологической необходимости в подобном обосновании – способы решения исходили от авторитетного лица, например жреца, и записывались. Большего и не требовалось. (Не так ли и мы сейчас относимся к медицинским рецептам?) Первые доказательства в их современном понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалесу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н.э. возник новый обычай: сопровождать математический факт его обоснованием. Очевидно, появилась потребность не просто сообщать данный факт, но и доказывать его истинность, т.е. убеждать слушателя.

Древнегреческие доказательства были почти безупречны. Положение вещей начало меняться с XVII в., когда в математику пришли переменные величины, и стало складываться представление о предельном переходе. Более чем сто лет спустя эти представления о переменной и пределе еще не выглядят достаточно четкими, а потому и доказательства того времени кажутся нестрогими. Замечательно, однако, что столь нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал математики. В 20-е гг. XIX в. появились работы французского математика Огюстена Коши (1789–1857). В его трудах понятие предела и опирающиеся на него понятия впервые начали приобретать современную логическую форму. Инициатива Коши была развита затем многими математиками, прежде всего, уже во второй половине XIX в., немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Но новые представления о необходимом уровне строгости входили в математику в течение долгого времени.