Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде

Гармоническая плоская бегущая волна, распространяющаяся в однородной среде вдоль направления z′, может быть записана следующим образом:

j (t, z′) = A cos(w× t–kz′).

Это означает, что в плоскости z′ = 0 волна во времени должна зависеть так j (t, 0) =A cos(w× t). Эту функцию, определяющую и изменение какой-либо физической величины (смещение среды, электрическую или магнитную напряженность поля или квантовомеханическую волновую функцию) можно выразить через обычные декартовы координаты x, y, z. Будем считать, что начало координат декартовой системы совпадает с плоскостью z′ = 0, а любой вектор пространства r задан через орты i, j, k: r = i x+ j y+ k z. Плоскость z′ =const в системе координат x, y, z определяется уравнением z′ = (r, l′) =const, где l′ – единичный вектор вдоль направления распространения волны z′. Поэтому величина kz′ в уравнении для волны может быть записана так:

kz′ =k (l′, r) = (k l′, r) = (k, r) =k_xx+k_yy+k_zz.

Здесь k – это вектор распространения волны или волновой вектор; его величина равна модулю k, а направление совпадает с направлением распространения волны (т.е. с z′). С физической точки зрения волновое число k представляет собой число радиан фазы на единицу смещения волны вдоль направления распространения l′.

Бегущая волна может быть представлена в следующих эквивалентных формах:

j (x, y, z, t) = A cos(w′ t–kz′)

j (x, y, z, t) = A cos(w′ t–k_xx+k_yy+k_zz)

j (x, y, z, t) = A cos[ w′ t– (k, r)].

Удобно, однако, использовать комплексное представление волны, имея в виду либо реальную (Re), либо мнимую (Im) его часть

j (x, y, z, t) =j (r, t) =Aexpi [ w′ t– (k, r)].

Аргумент этой синусоидальной волновой функции f′ = [ w′ t– (k, r)] называется фазой. В фиксированный момент времени t ₀ точки пространства, имеющие одинаковые фазы, образуют плоскость равной фазы или волновой фронт. Для него справедливо:

f = [ w′ t– (k, r)] =Const

df= [ w′ dt– (k, d r)] = 0

df= [ w′ dt–kdz′ ] = 0.

Поэтому скорость перемещения фазовой плоскости, т.е фазовая скорость V_Ф равна:

.

В случае среды, обладающей дисперсией, т.е. когда связь между частотой волны w и волновым вектором k нелинейная w (k) ¹ V_фk, фазовые скорости различных монохроматических волн будут различны. Эта скорость для волны с данной частотой w и волновым вектором k численно равна тангенсу угла наклона линии из начала координат в точку с координатами w, k на дисперсионной зависимости w (k). Сама же дисперсионная зависимость w (k) является следствием определенной физической модели системы. В случае связанных пружинами масс в модели одноатомной линейной цепочки дисперсионная зависимость имеет вид w= (4 p/m)^{1 / 2}sin(ka/ 2) и при малых k (бесконечно длинные волны l= 2 p/k ®¥) линейна:

w= (4 b/m)^{1 / 2}sin(ka/ 2)

(4 b/m)^{1 / 2}(ka/ 2) =ka (b/m)^{1 / 2} =kV_звука.

В этом случае фазовая скорость волн с l®¥ равна скорости звука в среде. При уменьшении длины волны фазовая скорость уменьшается и на границе зоны Бриллюэна, когда волновой вектор k= p× /а и l= 2 а, она равна

.

Фазовая скорость волн может быть сколь угодно большой. В системе связанных маятников (рис.13) дисперсионное соотношение имеет вид:

.

Это соотношение аналогично дисперсионному выражению для электромагнитных волн в атмосфере. Фазовая скорость механических волн в системе связанных маятников тогда равна:

.

Если второй член в этом выражении мал (можно сделать b= 0, т.е. перерезать пружины, соединяющие маятники), то фазовую скорость V_ф ² =g/lk ² можно сделать сколь угодно большой (в частности, больше скорости света с в вакууме), выбрав величину lk ² достаточно малой.

Это возможно, поскольку в системе отсутствует связь между маятниками, а сама система представляет собой группу маятников, которые колеблются с одинаковой амплитудой, а сдвиг фазы колебания между данным и последующим маятником все время возрастает, так что длина волны (фаза на этом расстоянии возрастает на 2 p) оказывается больше, чем произведение скорости света с на период колебания маятника.

Аналогичная ситуация может быть и в других дисперсионных средах. Так, в любой среде с диэлектрической проницаемостью e распространение электромагнитных волн подчиняются дисперсионному соотношению

.

Для среды с одним резонансом диэлектрическая постоянная выражается следующим образом:

,

и в случае, когда частота внешнего воздействия w (представляющего собой электромагнитное излучение) меньше резонансной частоты среды w_о, фазовая скорость волны меньше с. Однако, если сместиться по частоте в сторону ультрафиолета и сделать w> w_o, то диэлектрическая проницаемость e станет меньше единицы, а фазовая скорость электромагнитной волны больше скорости света в вакууме:

.

Физическая причина того, что фазовая скорость может быть больше с заключается в соотношении между фазой возмущающей силы E (t) и фазой колебания зарядов x (t) системы. До частоты резонанса смещение x (t) и вынуждающая сила находятся почти в фазе. При движении зарядов среды возникает электрическое пол Е, которое уменьшает внешнее электрическое поле. Уменьшение внешнего поля приводит к уменьшению возвращающей силы и, соответственно, уменьшению фазовой скорости. После перехода через резонанс при w> w_o смещение зарядов в среде x (t) будет находиться почти в противофазе с внешней силой E (t). Поэтому поле, создаваемое смещением зарядов будет усиливать возвращающую силу, что приведет к увеличению фазовой скорости распространения волны. Поэтому фазовая скорость волны будет больше скорости света в вакууме.

Подобная ситуация имеет место и в случае дисперсионного соотношения для электромагнитных волн в ионосфере

, т.е.

.

Понятно, что гармоническое колебание не может нести информацию о сигнале, поскольку каждый последующий цикл колебаний является точной копией предыдущего. Поэтому тот факт, что фазовая скорость волны может превышать скорость света в вакууме, не противоречит конечной скорости распространения энергии, равной скорости света с.

Разумеется, фазовая скорость является величиной, характеризующей среду, в которой распространяется бегущая монохроматическая волна. Другой величиной, описывающей распространение бегущих волн в диспергирующей среде, является также групповая скорость волн. Она определяет скорость, с которой энергия распространяется в пространстве при волновом движении среды.

Скорость распространения энергии (и информации) в бегущей волне не обязательно совпадает с фазовой скоростью синусоидальной волны. Чтобы передать определенную информацию с синусоидальной бегущей волной, ее нужно промодулировать, т.е. изменить какой-либо параметр волны в соответствии с изменением передаваемого сигнала (например, амплитуду, частоту или фазу). Скорость распространения модуляции определяется скоростью распространения максимума или минимума модуляции, которые являются результатом интерференции по крайней мере двух близких по частоте синусоидальных волн (рис. 20).

Рис. 20. Групповая скорость волн. Стрелками показаны места биений, распространяющихся с групповой скоростью V_гр Черными кружками показаны гребни волн, которые распространяются со средней фазовой скоростью V_ф.

В некоторых точках пространства обе волны находятся в фазе, и результат их интерференции дает максимум, при других значениях координат волны могут быть в противофазе, и амплитуда модулированного колебания будет равна нулю. Очевидно, если двигаться вдоль направления распространения волны со скоростью, при которой разность фаз этих волн f ₁(z, t) –f ₂(z, t) остается постоянной, эта скорость и будет скоростью распространения модулированного колебания, т.е. групповой скоростью.

В этом случае разность фаз равна:

f₁ (z, t) –f₂ (z, t) = (w₁t–k₁z+f₁⁰) – (w₂t–k₂z+f₂⁰) = Const,

и полный дифференциал этого выражения должен быть равен нулю:

(w₁–w₂) dt –(k₁–k₂) dz =0, так что

.

Само название – групповая скорость – означает, что рассматривается распространение импульса возмущения, который называется волновым пакетом или волновой группой f (z, t). Любая такая разумная функция может быть представлена суперпозицией гармонических колебаний и может быть выражена через интеграл Фурье:

.

Каждая гармоническая составляющая этой суперпозиции определяет свою собственную бегущую волну с определенной частотой w и волновым вектором k, которые связаны между собой дисперсионной зависимостью w (k). При этом каждая частотная составляющая бегущей волны, входящей в волновой пакет, распространяется со своей фазовой скоростью:

.

Это означает, что вид этого волнового пакета для любого момента времени можно получить заменой в выражении для f (z, t) фазы [ w t–kz ] на [ w t′ –k (w) z ] в каждой гармонической составляющей:

.

В не диспергирующей среде, когда фазовая скорость любой волны одинакова и равна V_ф=w/k, каждая монохроматическая составляющая меняется одинаково и получается простой заменой в f (z, t) момента времени t на t′ =t–z/V_ф. Поэтому можно не пользоваться представлением Фурье, а воспользоваться следующим выражением:

f (z+Z, t′) = f (z, t–Z/V_ф).

В общем случае диспергирующих сред фазовая скорость V_ф зависит от частоты, и поэтому форма волнового пакета f (z, t) не остается постоянной во времени. Волновой пакет расплывается тем быстрее, чем сильнее дисперсия среды (рис. 21).

Рис. 21. Волновой пакет, для которого фазовая скорость в два раза больше, чем групповая. Стрелки перемещаются с фазовой скоростью, поскольку указывают на точку постоянной фазы колебания. Крестик перемещается с групповой скоростью. Это скорость волнового пакета.