Многоатомная линейная цепочка

Линейная цепочка, состоящая из N элементарных ячеек размера a и имеющая в ячейке только один атом, при рассмотрении только продольных колебаний имеет N степеней свободы и столько же собственных частот. Эти частоты заданы дискретными значениями волновых векторов k =(2π / aN) p в зоне Бриллюэна, а p принимает значения от 1 до N –1. Линейная цепочка, в элементарной ячейке которой находится два атома, будет иметь в два раза больше степеней свободы и, следовательно, 2 N значений собственных частот. Поскольку число возможных волновых векторов, а, значит, и колебаний (механических волн) с различными длинами волн λ всего N, решениями такой задачи должны быть две дисперсионные зависимости, заданные в области периодичности решений – в зоне Бриллюэна. В следующей главе будет показано, что одна из этих зависимостей выходит из начала координат и характеризует звуковые колебания, как это происходит в одноатомной цепочке, а другая – представляет собой дисперсионную зависимость, похожую на зависимость, реализующуюся в модели маятников, связанных упругими силами (см. рис. 13). В этом случае частоты возможных механических колебаний меняются от некоторой частоты ω (0) для бесконечно длинных волн (λ =∞, k =0) до другой частоты ω (π / a), принимающей эту величину при значении волнового вектора, равного k =π / a (λ =2 a). В случае, когда число частиц в элементарной ячейке будет равно s, возникнет s функциональных зависимостей, заданных в первой зоне Бриллюэна и называемых ветвями. Таким образом, возникнет многозначная функция волнового вектора k, поскольку каждому значению волнового вектора будет соответствовать s частот, так что полное число частот будет равно Ns, что соответствует числу степеней свободы цепочки. При безграничном увеличении числа частиц, образующих элементарную ячейку, число ветвей также стремиться к бесконечности, так как оно равно числу степеней свободы ячейки. При этом цепочка переходит в непрерывную струну или стержень с макроскопических представлений с фактически отсутствующей периодической структурой.

Простейшем случаем такой системы может служить однородная непрерывная струна или стержень, не обладающие периодической структурой, т.е. макроскопические системы, рассматриваемые феноменологически. Если считать, что стержень имеет однородную структуру, и вдоль него распространяется акустическая волна, то частота колебаний ω является линейной функцией волнового вектора k. Переход от однородной непрерывной струны к струне с периодической структурой (например, к нагруженной струне) приводит к определенным особенностям, характерным для распространения волн различной природы в периодических средах.