Линейная двухатомная цепочка

Рассмотрим бесконечную одномерную цепочку, показанную на рис. 23, элементарная ячейка которой содержит 2 частицы. Трехмерным аналогом такой модели могут быть кристаллы NaCl, KBr и др. Постоянная решетки a=a′ / 2, a′ –расстояние между соседними атомами, массы частиц – m ₁ > m ₂, упругие силовые постоянны – b ₁ =b ₂ =b. Будем использовать четную нумерацию для частиц массы m ₁ и нечетную – для частиц массы m ₂. Соответствующие смещения u _{2 n} и u _{2 n+ 1}.

Рис. 23. Двухатомная линейная цепочка а) модель цепочки с массами m ₁ > m ₂ и постоянной решетки a= 2 a′. На рисунке выделена элементарная ячейка. Тяжелые атомы решетки m ₁ имеют нечетные номера, а более легкие атомы m ₂ – четные; б) дисперсионная зависимость w (k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область (зона собственных колебательных состояний); 2 – реактивная область (запрещенная зона частот). Дисперсионные зависимости (акустическая и оптическая ветви) непрерывны в зоне Бриллюэна и имеют экстремумы как в центре зоны (k= 0), так и на ее границе (k=p/a). В этом случае колебания цепочки представляют собой стоячую волну.

Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет бесконечное число уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий вид:

.

Решение этой системы ищем в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на фазовый множитель expi (k, r _n).

,

где A ₁ и A ₂ – амплитуды смещений частиц массы m ₁ и m ₂, w – частота колебаний, а k – волновой вектор возбуждения.

Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд колебаний А ₁ и А ₂.

A ₁(m ₁ w ² – 2 b) +A ₂2 b cos ka′ = 0

A ₁2 b cos ka′ +A ₂(m 2 w ² – 2 b) = 0.

Чтобы система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Это дает связь между частотой возбуждения w и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного соотношения:

.

Поскольку 1 – 2sin² ka′ = cos ka, дисперсионное соотношение можно записать так:

.

Если частота w удовлетворяет дисперсионному уравнению, можно найти соотношение амплитуд А ₁ и А ₂ соответствующих волновых возбуждений, а из начальных условий можно найти и сам амплитуды. Поскольку дисперсионное условие имеет два корня w ₁, w ₂ каждому значению волнового вектора k соответствует две волны. В зависимости от k возбуждения цепочки имеют целый набор частот – ветвь (рис. 23).

Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +). Так как дисперсионная зависимость w (k) периодична по k с периодом 2 p/a, нет необходимости рассматривать все возможные значения k. Область изменения волнового вектора k выбирается симметричной (– p/a, + p/a), чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область носит название первой зоны Бриллюэна.

Легко получить значения частот при k= 0 и на границе зоны Бриллюэна (k=p/a):

Внутри зоны ветви непрерывны. Ход ветвей вблизи центра зоны Бриллюэна при k® 0 можно получить, рассматривая разложение дисперсионной зависимости w (k) в ряд по k, и учитывая, что сoska» 1 –k ² a ²/2 +...:

1. Акустическая ветвь (знак –):

.

Скорость этой волны является скоростью звука, поскольку:

.

2. Оптическая ветвь (знак +):

.

Оптическая ветвь, таким образом, имеет максимум при k= 0, а вблизи центра зоны Бриллюэна имеет параболическую зависимость от волнового вектора.

Ход ветвей на границе зоны Бриллюэна (k=p/a) также можно получить, разлагая w (k) в ряд в этой точке и учитывая, что

сoska @ сos (p–e) =–сose =– 1 +e ²/2 +....,

для акустической и оптической ветвей имеем:

1. Акустическая ветвь (знак –):

.

Групповая скорость волны равна V_гр= (dw/dk) _{k= 0} = 0, т.е. это – стоячая волна.

2. Оптическая ветвь (знак +):

.

Таким образом, частоты акустической и оптической ветви вблизи границы зоны Бриллюэна меняются по параболическому закону, а групповая скорость волны на границе зоны Бриллюэна равна нулю, т.е. это – стоячая волна.

Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут, не пересекая друг друга, и имеет место область запрещенных частот от значения (2 b/m ₁)^1/2 до (2 b/m ₂)^1/2.

Характер движения частиц в ветвях можно получить, вернувшись к алгебраическим уравнениям для амплитуд А₁ и А ₂. Если А ₁ /А ₂ > 0, то движения частиц происходит в фазе, если А ₁ /А ₂ > 0 – в противофазе. Используя второе уравнение для амплитуд для нулевого волнового вектора, можно получить:

.

В акустической ветви (знак плюс) это отношение равно +1:

(А ₁ /А ₂) _ak= (m ₁ –m ₂ +m ₁ +m ₂) / 2 m ₁ = +1,

т.е. частицы с массами m ₁ и m ₂ движутся в фазе.

В оптической ветви (знак минус) это отношение отрицательно:

(А ₁ /А ₂) _opt= (m ₁ –m ₂ –m ₁ –m ₂) / 2 m ₁ = –m ₂ /m ₁,

т.е. частицы колеблются в противофазе, а амплитуды движений обратно пропорциональны массам. Важно, что если на частицах 1 и 2 есть заряды, то такое колебание сопровождается изменением дипольного момента элементарной ячейки и, значит, оно может взаимодействовать со светом. Поэтому ветвь таких колебаний называется оптической.

В случае малых волновых векторов можно получить, что для акустической и оптической ветвей справедливо:

(А ₁ /А ₂) _ak= 1 +k ² V;

(А ₁ /А ₂) _opt= – (m ₂ /m 1)(1 –k ² V),

где V = (m ₁ –m ₂) /8 (m ₁ +m ₂).

В акустических колебаниях отношение амплитуд возрастает, а в оптических – уменьшается, но колебания тяжелых и легких частиц остаются в противофазе. Вблизи границы зоны Бриллюэна при k= (p–e) /a, cos ka» – 1 +e ²/2 +…, и отношения амплитуд имеет вид:

,

.

Рис. 24. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для значений волновых векторов k= 0 (1), k=p/a (2) и волнового вектора внутри зоны Бриллюэна k=p/7a (3). Колебания с волновым вектором k=p/a на границе зоны Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а тяжелые находятся в покое.

Поскольку в цепочке m ₁ –m ₂ > 0, в колебаниях оптической ветви движения происходят в противофазе, причем при e® 0 (А₁ /А ₂) _opt® 0, т.е. тяжелые частицы покоятся, а легкие движутся. Длина волны при этом минимальна и равна l= 2 a. В акустической ветви при колебаниях на границе зоны частицы движутся в фазе. При уменьшении e отношение (А ₁ /А ₂) _ak возрастает и при e®0 стремится к бесконечности. Это означает, что легкие частицы покоятся, а тяжелые движутся. Вид этих колебаний приведен на рис.24.

Для цепочки конечных размеров можно использовать циклические граничные условия Борна–Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:

u_n=u_n+N; exp [ i (w× t+ 2 nka′)] =exp [ i (w× t+ (2 n+N) ka′)]

exp [ iNka′ ] = 1; Nka′ = 2 pp; p= 0, 1, 2 ...N– 1;

–p/a< k=p 2 p/Na< +p/a; –N/ 2 < p< +N/ 2

Таким образом, имеется N различных волновых векторов k, причем каждому волновому вектору k соответствует два колебания с частотами w_ak и w_opt, так что полное число типов движений ограничено и равно 2 N (N – для оптической ветви и N – для акустической).

Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки показана на рис. 25. На этом рисунке под знаком а) нарисована ветвь одноатомной цепочки с периодом a и одним атомом массы m в элементарной ячейке (сплошная кривая). В случае неконгруэнтности (отсутствия трансляционной инвариантности) атомов (m ₁ »m ₂) она переходит в две ветви типа А (акустическая) и О (оптическая). Поскольку элементарная ячейка в этом случае должна имеет удвоенный размер a′ = 2 a, частоты обоих ветвей на границе зоны почти равны w=Ö b/m ₁ » w=Ö b/m ₂. В этом случае говорят, что зона Бриллюэна складывается в направлении k_a. Трехмерный аналог этого случая – кристаллы C, Si, Ge, в решетке которых 2 атома в элементарной ячейке, и в которых в направлении (100) LA и LO ветви вырождены в точке X зоны Бриллюэна (см. рис. 33). Складывание зоны Бриллюэна в случае двухатомной линейной цепочки показано на рис. 25 б. Появление сверхструктуры с периодами a′ = 2 a, a′ ′ = 4 a и т.д. приводит к последующему уменьшению зоны Бриллюэна и увеличению числа частот в центре зоны с k = 0. На рис. 25 в нарисованы мягкие моды в линейной двухатомной цепочке: под номером 1 – равновесная конфигурация цепочки с постоянной a и массами m ₁и m ₂; под номером 2 – оптическое колебание в этой цепочке с k = 0. При «замораживании» смещений число частиц в ячейке не изменяется; оптическое и акустическое колебания двухатомной цепочки с волновым вектором k=p/a, т.е. на границе зоны Бриллюэна показаны под номером 3 и 4. При «замораживании» этих колебаний (т.е. смещений) число частиц в элементарной ячейке удваивается; замороженная конфигурация акустической моды 4, приводящая к цепочке с элементарной ячейкой удвоенного размера показано под номером 5. Штриховкой показана не конгруэнтность атомов в новой ячейке. Смещения частиц в этой конфигурации полностью подобны смещениям в случае 4, но представляют теперь нормальное колебание с волновым вектором k =0. Случаи 4 и 5 иллюстрируют складывание зоны, показанной на рис.25 б, и переход точки с k=p/a в точку k= 0 зоны Бриллюэна другой фазы.

Рис. 25. Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки.

Как и в случае одноатомной цепочки можно рассмотреть функцию плотности частот в ветвях g (w) =dZ/dw, определяемую как число мод (типов колебаний) dZ, приходящихся на единичный интервал частот dw. Ясно, что существует две области частот, где g (w) отличается от нуля. Эти области соответствуют акустической и оптической ветвям. Они разделены запрещенной областью частот, где g (w) = 0. В граничных точках зоны Бриллюэна функция плотности частот стремиться к бесконечности, что является следствием приближения ближайших соседей. Полное число колебаний в цепочке конечно и равно 2 N, так что

.

При рассмотрении реальной двухатомной цепочки необходимо учесть, что частицы могут смещаться не только вдоль цепочки, но и поперек, т.е. каждая частица будет иметь 3 степени свободы. Поэтому уравнений движения будет в 3 раза больше, и в 3 раза больше будет решений. Для каждого волнового вектора k будет существовать шесть волн с различными частотами, т.е. дисперсионная кривая будет иметь шесть ветвей. Три из них имеют частоты равные нулю при k® 0 (трансляционные движения частиц в фазе вдоль и поперек цепочки) и являются акустическими, остальные три – оптические.

В общем случае при наличии s частиц в элементарной ячейке полное число степеней свободы ячейки равно 3 s. Полное число ветвей тогда будет 3 s. Из них 3 ветви акустические, остальные 3 s– 3 ветви – оптические (рис. 26).

Рис. 26. Схематический вид дисперсионных зависимостей для кристалла с s атомами в элементарной ячейке для различных направлений k распространения волны.