Связанные маятники

Наглядным примером из механики, демонстрирующим, что характер распространения волн в периодической системе зависит от частоты, является система связанных математических маятников (рис. 13).

На каждый маятник длины l действует возвращающие силы двух типов: " внешняя" сила, создаваемая силой тяжести, не зависит от относительного смещения соседних маятников; другая сила, возникающая из-за того, что маятники связаны пружинами, зависит только от их взаимного расположения. Если бы не существовало силы тяжести, то такая система была бы подобна одноатомной линейной цепочке, так что дисперсионное соотношение имело бы вид w= (4 b/m)^{1 / 2}sin(ka/ 2).

При включении же в рассмотрение силы тяжести g, к возвращающей силе нужно добавить величину g/l. При этом можно показать, что мода колебания (т.е. тип движения) сохранится, а частота изменится до величины

.

Рис. 13. Модель связанных маятников: а) схематический вид цепочки маятников; б) дисперсионная зависимость w (k) для системы связанных маятников: область возможных частот от w ² _min=g/l до w ² _max=g/l+ 4 b/m – область синусоидальных волн; в), г) – области затухания: в) область высоких частот w> w_max – экспоненциально-затухающие волны при колебаниях соседних маятников в противофазе; г) – область ниже низкочастотного порога – экспоненциально-затухающие волны; д) – график амплитуд колебаний маятников для области частот ниже низкочастотного порога – колебания соседних маятников происходят в фазе (см. рис. а).

В предельном случае непрерывной системы (ka< < 1) имеем

.

Этот закон дисперсии описывает дисперсию электромагнитных волн в волноводах и в иносфере Земли.