Постановка решения в виде функции Блоха

сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому уравнению, характеризующему связь между частотой w и волновым числом k= (2 p/l) для возможных собственных возбуждений системы:

.

Рис. 10. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость w (k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости равен скорости звука в цепочке, поскольку при k» 0 w»Ö 4 b /m× ka/ 2и V_зв=w /k=aÖ b /m, что полностью совпадает со значением скорости звука при феноменологическом описании механических колебаний в непрерывной среде: V_зв=Ö С ₁₁ /r, где С ₁₁ = { b (u_n–u_{n– 1})} / {(u_n–u_{n– 1}) /a }, а r=m/a, так что V_зв=aÖ b /m; в) физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому n атом n+m, имеющий то же смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения u_n=u_n+m, то ясен физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2 p ¤ λ, где λ =am – длина волны возбуждения.

Дисперсионная зависимость w (k) периодична, таким образом, достаточно рассмотреть область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –(p/a) < k< + (p/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по волновому вектору k на целочисленную величину (2 p/a), физически характеризуют одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое же отклонение u_n+m, как и заданная u_n для колебания с волновым вектором k расположена на расстоянии ma=l:

.

Волны с частотами w> w_max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/ 2) > 1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+ia:

Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/ 2) = 0 и k=p/ 2, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом a волны (рис. 11 а):

.

Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис. 11. Для малых волновых векторов k»0 (l®¥) движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka< < 1):

,

где V=a (b/m)^{1 / 2}– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m. Действительно, V_звука= (C ₁₁ /r)^{1 / 2}, где C ₁₁ – упругая постоянная, определяемая как

,

.

Таким образом, при малых волновых векторах k частота w=kV_звука. Фазовая скорость V_ф=w/k и групповая скорость V_гр=dw/dk в этом случае равны друг другу. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=p/a; l= 2 a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с частотой w=w_max= (4 p/M)^{1 / 2}. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая скорость равна нулю:

.

Рис. 11. Колебания моноатомной цепочки: а) мода колебания с волновым вектором k » 0; б) мода колебания на границе зоны Бриллюэна с k=p /a; в) вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами w ² > w ² _max= 4 b/m× sin² ka/ 2. Если частота внешнего воздействия w> w_max, это означает, что волновой вектор k является комплексным числом k= k + ic, так что sin(k a /2)=sin[(k + ic)a/2]=sin(ka /2)× ch(c a /2)+i× cos(ka /2)× sh(c a /2); поскольку sin(k a /2), определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka /2=p/2. Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: U_n=A× exp[i(w× t + an /p a)]× exp(–c an). Это показано на рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по порядку увеличения частоты колебаний.

При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана), когда цепочка представляется замкнутой:

Таким образом, в цепочке из N атомов волновой вектор k может принимать N разных значений, которым соответствуют различные решения u_n (w, k) и различный тип движения частиц (моды колебаний). Поскольку число частиц N в реальных объектах чрезвычайно велико, можно считать, что волновой вектор k и соответствующие значения частот от 0 до w_max квазинепрерывны.

Важным вопросом является вопрос о числе dZ различных частот (колебаний, мод), приходящихся на единичный интервал частот dw. Эта величина g (w) носит название функции плотности частот (функции плотности состояний).

Поэтому плотность частот для одноатомной одномерной цепочки выглядит следующим образом:

.

Для линейной цепочки при учете взаимодействия только ближайших соседей функция плотности частот g (w) имеет особенность при w®w_max.