Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю:

.

Этот принцип позволяет исключить из рассмотрения все заранее неизвестные реакции связей.

Равновесие рычага (золотое правило механики)

Представим рычаг, вращающийся на шарнире О, на концах которого действуют силы и . Обозначим АО = а, ВО = в. Дадим системе возможное перемещение, тогда точки А и В сместятся соответственно на d _Q и d _P. Получим , а так как d_Q = а·d_j и d_Р = в · d_j , то Ра · d_j – Qв · d_j = 0.

Сократив на d_j, получим .

Это и есть условие равновесия рычага. Очевидно, что это уравнение моментов относительно точки О.

.

Если рычаг находится в равновесии под действием двух сил, то возможные перемещения точек приложения сил обратно пропорциональны этим силам. Это можно сформулировать так: то, что выигрывается в силе, теряется в скорости (золотое правило механики).

Принцип Даламбера–Лагранжа (общее уравнение динамики)

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики при решении задач динамики. Следовательно, применение этих принципов одновременно позволит получить общий метод решения задач динамики.

Пусть дана система материальных точек А ₁, А ₂,... А_n.

Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей, приложить еще и силы инерции , то, согласно принципу Даламбера, система будет находится в равновесии. В соответствии с принципом возможных перемещений:

.

Если связи идеальные, то последняя сумма равна нулю, тогда:

.

Это и есть принцип Даламбера–Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение, выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме оно имеет вид:

.

Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнения нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений.

Пример. В подъемнике, изображенном на рисунке, к шестерне 1, имеющей массу m ₁ и радиус R ₁, приложен вращающий момент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общая масса равна m ₂, радиус инерции равен i ₂, радиусы шестерен равны соответственно R ₁ и R ₂.

Решение.

Обозначим на рисунке все активные силы (в данном случае это силы тяжести тел) и применим к системе принцип Даламбера. Для этого приложим к грузу 3 силу инерции и к дискам 1 и 2 – моменты сил инерции .

Теперь система находится в равновесии, и к ней можно применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа). Для этого сообщим, например, грузу 3 возможное перемещение d ₃. Диски при этом получат перемещение d_{j 1} и d_{j 2} . Согласно принципу Даламбера–Лагранжа, сумма работ всех активных сил и всех сил инерции на возможном перемещении системы должна быть равна нулю. Следовательно,

.

Выразим все перемещения через d ₃. Для простоты решения задачи сначала выразим скорости всех тел через скорость груза 3. Т.к. связи дифференциальные и интегрируемые, перемещения и ускорения тел будут подвержены тем же зависимостям:

.

Далее выразим моменты и силы инерции с учетом уже полученных зависимостей:

;

;

.

Подставим полученные значения в уравнение возможных работ. Далее, сократив левую и правую части уравнения на d ₃ , выразим a ₃.

откуда .