Уравнения Лагранжа

Для определения уравнений движения в обобщенных координатах обратимся к общему уравнению динамики:

.

Пусть система имеет k степеней свободы. Тогда

,

.

Подставляя в общее уравнение динамики, получим:

или

,

где – обобщенные силы инерции, которые равны

.

Так как , то

(1)

Выразим обобщенную силу через кинетическую энергию. Имеем

, (2)

так как

Заметим, что

,

.

Подставим полученные выражения в уравнение (2):

.

Тогда уравнение (1) примет вид:

,

где Т – кинетическая энергия.

Аналогичные выражения получаем для всех остальных обобщенных координат. Поскольку , то

Это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа II-го рода (уравнения в частных производных). Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.

Основные преимущества использования уравнений Лагранжа при решении задач:

1) количество уравнений не зависит от количества тел, входящих в систему;

2) данный способ позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные реакции связей.

Пример. Механизм робота-манипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального перемещения, состоящего из звеньев 1 и 2, и выдвигающейся горизонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма т ₁, т ₂и т ₃. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно F ₀₁, F ₁₂ и F ₂₃. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.

Решение.

Рассматриваемая механическая система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты: , тогда обобщенные скорости выразятся как

Вычислим кинетическую энергию системы. Т.к. звенья 1, 2 и 3 двигаются поступательно, то

Вычислим частные производные от кинетической энергии:

;

;

,

; ; .

Далее, дифференцируя по времени, получим:

Для определения обобщенной силы сообщим системе перемещение . При этом работу совершит движущая сила , направленная вверх, и силы тяжести всех 3-х звеньев:

.

Многочлен, стоящий в квадратных скобках, является обобщенной силой: .

Аналогично вычислим обобщенные силы и :

, тогда .

Силы тяжести не совершают работу, т.к. движение вдоль оси y происходит по горизонтали, поэтому

,

откуда .

Запишем полученные дифференциальные уравнения движения: