Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Векторы. Операции с векторами.Стр 1 из 8Следующая ⇒
ПОПРОБУЙ РЕШАТЬ!!!
Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Линейная алгебра», преподаваемого на первом курсе факультета ЭТМО. Учитывается специфика факультета, направленность профессионального обучения будущих инженеров-технологов. Хотя основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор задач для самостоятельной доработки материала Предмета, по каждой теме представлена общая схема решения задачи и приведен частный пример применения общей схемы. Считаем важным также отработку принципов оформления материала по решённым задачам (домашние задания, контрольные работы и т.п.): инженер-технолог должен вырабатывать профессиональное восприятие оформления документа по любой разработанной им задаче-технологии.
СОДЕРЖАНИЕ: Стр. Часть 1. Аналитическая геометрия (АГ): § 1. Векторы. Операции с векторами.............................................. 2 § 2. Прямая на плоскости....................................................... 6 § 3. Плоскость и прямая в пространстве........................................... 7 Часть 2. Линейная алгебра (ЛА): § 4. Определители: вычисление.................................................. 6 § 5. Матрицы: операции с матрицами............................................. 6 § 6. Системы линейных уравнений............................................... 7 § 7. Линейные пространства..................................................... 7 § 8. Линейные преобразования (операторы)........................................ 7 § 9. Квадратичные формы....................................................... 7 § 10. Евклидовы пространства................................................... 7
Терпенье и труд все перетрут!!! Векторы. Операции с векторами. 1.1. Дана система векторов: , , , . Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и все векторы системы, не входящие в этот базис, выразить через векторы базиса. Общие сведения. Базисом называют: 1*. На прямой: любой ненулевой вектор . Всякий вектор , лежащий на этой прямой, может быть представлен в виде: = · , число – координата относительно этого базиса. 2*. На плоскости: любая пара неколлинеарных векторов , . Всякий вектор , лежащий в этой плоскости, может быть представлен в виде: = · + · , числа – координаты относительно этого базиса. 3*. В пространстве: любые три вектора , , , если они не компланарны. Всякий вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: = · + · + · , где , , – координаты вектора относительно этого базиса. Так как пространство можно рассматривать как общий случай 3-мерного пространства, а плоскость и прямую как частные случаи, то решать задачу будем для 3-мерных векторов. Общая схема решения задачи: 1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. 2). Если базис выделен, записываем линейную комбинацию: = · + · + · . 3). Решая систему уравнений, вычисляем неизвестные: , , . 4). Оформляем ответ. Примеры (и образец оформления): Пример- 1*: Заданы векторы: =(1), =(3), =(2). Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов. Решение: 1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой прямой, то признаком существования базиса является присутствие в совокупности векторов , , ненулевого вектора. 2). В качестве базиса примем вектор . Тогда можем записать: = · , = · . 3). Решаем уравнения: (3)= ·(1); (2)= ·(1), то есть уравнения: 3 = ·1; 2 = ·1, из чего следует: =3; =2. Ответ: один из базисов: ; тогда: =3 , =2 . Пример- 2*: Заданы векторы: =(1, 2), =(3, 1), =(2, 3). Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов. Решение: 1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой плоскости, то признаком существования базиса является наличие в совокупности векторов , , хотя бы двух неколлинеарных векторов. В нашем случае среди заданных векторов нет коллинеарных. Это значит: любая пара векторов из заданной совокупности векторов может быть принята в качестве базиса. 2). В качестве базиса примем векторы и . Тогда можем записать: = · + · , то есть: ·(1, 2)+ · (3, 1)=(2, 3). Используя свойства линейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: ( ·1+ ·3; ·2+ ·1)= (2, 3), или в виде системы уравнений: 3). Решение системы уравнений: . Тогда можем записать: = . Ответ: один из базисов: , ; тогда: = . Пример- 3*: Заданы векторы: =(3, 1, 2), =(1, 3, 1), =(-1, 2, 4), =(-2, 4, 7). Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов. Решение: 1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторому пространству, то признаком существования базиса является наличие в совокупности векторов , , , хотя бы трёх некомпланарных векторов. Так как векторы , неколлинеарные, то будем проверять тройки векторов , , и , , , используя понятие смешанного произведения: = = = 35 0, = = = -40 0. 2). В качестве базиса может быть принята любая из троек векторов из заданной системы векторов. Примем в качестве базиса тройку векторы , , . Тогда можем записать: = · + · + · , то есть: ·(3, 1, 2)+ ·(1, 3, 1)+ ·(-1, 2, 4)=(-2, 4, 7). Используя свойства линейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: ( ·3+ ·1– ·1; ·1+ ·3+ ·2; ·2+ ·1+ ·4)=(-2, 4, 7), или в виде системы уравнений: 3). Решение системы: . Тогда можем записать: = · + · + · . Ответ: один из базисов: , , ; тогда: = · + · + · . Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно! Варианты индивидуальных заданий:
1.2. Заданы точки A, B, C, D в правой системе координат. Вычислить указанные в заданиях величины с точностью 0.001. а) проекцию вектора на вектор ; б) площадь треугольника ABC; в) объём тетраэдра . Общие сведения: по всем представленным заданиям: 1). Для удобства применения необходимых выражений обозначим: A = , B = , C = , D = . Тогда можем записать выражения для векторов, используемые во всех названных задачах: = B–A = = ; = D–A = = . = C–A = = . 2). Теперь приступим к решению задач, применяя формулы из общей теории. а)*. Заданы векторы и . Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором . Из выражения для скалярного произведения заданных векторов: проекция вектора на направление может быть вычислена по формуле: = . Рисунки иллюстрируют формулы:
Для векторов, заданных в координатной форме, запишем необходимые для вычисления выражения: = ; б)*. Заданы векторы и . Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и . Известно, что площадь параллелограмма, заданного векторами и , определяется выражением: , где – модуль векторного произведения векторов и . Для решаемой задачи это значит, что площадь треугольника, построенного на векторах и , можно вычислять по формуле: , где = = = ∙ – ∙ j + ∙ k, где – единичные векторы, определяющие направления осей правой прямоугольной системы координат . в)*. При вычислении объёма тетраэдра важно вспомнить, что , где – объём параллелепипеда. В задании требуется вычислить объём , определяемого тремя векторами , , . Но этими же векторами определяется параллелепипед, объём которого вычисляется при помощи смешанного (векторно-скалярного) произведения этих векторов. Для иллюстрации используемых при решении задачи формул удобно привести все векторы к общей точке: так как векторы свободные, то от этого они не изменяются. На рисунке показаны все участвующие в формулах элементы. Имеем: ( x )∙ = ∙ = ∙ = ∙ , где | |=H, причём =H, если тройка векторов – правая и =–H, если – левая. Из этой формулы следует: ( x )∙ = V – объём параллелепипеда, но со знаком. Так как в задании требуется вычислить только объём, то независимо от того, какая тройка используется в вариантах задания, все используют формулу: |( x )∙ |=| V |. Итак, имеем векторы , , . Вычисляем: ( x )∙ = – + = = . Записываем окончательную формулу: = |( x )∙ |. Примеры (и образец оформления): Общая часть. Пусть имеем точки A = =(1, 2, 0), B = =(1, 1, 2), C = =(2, 3, 1), D = =(0, 1, -1). Построим векторы: = B–A = = = (0, -1, 2); = D–A = = =(-1, -1, -1). = C–A = = =(1, 1, 1); 2). Теперь приступим к решению задач, применяя необходимые формулы. Пример- а)*: Используем полученные векторы: =(0, -1, 2), =(-1, -1, -1). Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором . Решение: 1). Воспользуемся формулой: = . 2). Вычислим: = = =–1. 3). Вычислим: = = . 4). Вычислим: = = =– =–0.577350269... При заданной точности вычислений примем: =–0.577. Ответ: =–0.577. Пример- б)*: Используем полученные векторы: =(0, -1, 2), =(1, 1, 1). Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и . Решение: 1). Общая формула: , где = = = ∙ – ∙ + ∙ . 2). Вычислим: = = ∙ – ∙ + ∙ = –3 +2 – . 3). Вычислим: = = . 4). Вычислим: = =1.87082869... При заданной точности вычислений примем: =1.871. Ответ: =1.871. Пример- в)*: Заданы векторы: =(0, -1, 2), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 1). В задании требуется вычислить объём тетраэдра , определяемого тремя векторами , , . Решение: 1). Общая формула: = . 2). Вычислим: = = =0 – векторы , , компланарны. 3). Вычислим: |( x )∙ |=0. 4). Вычислим: =0. При заданной точности вычислений примем: =0.000. Ответ: =0.000. Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно! Варианты индивидуальных заданий:
|