Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Плоскость и прямая в пространстве.
3.1. Даны координаты точки и уравнение плоскости: . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости . Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно плоскости нам необходимо провести через точку прямую , перпендикулярную этой плоскости и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки . Итак, пусть имеем: точку = и плоскость : . Это определяет вектор = нормали плоскости. Так как этот вектор параллелен прямой , то его можно принять в качестве направляющего вектора прямой = в каноническом уравнении прямой: = = = . Одновременно запишем уравнение прямой в виде параметрических уравнений: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = . Пример (и образец оформления): Общая часть. Пусть заданы: точка =(1, 0, 1) и плоскость : . Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости . Решение: 1) Выделим вектор нормали заданной плоскости: =(4, 6, 4)=2(2, 3, 2). Примем: =(2, 3, 2). 2). Решим уравнение: → = . 3). Вычислим координаты точки : = . 4). Вычислим координаты точки = =2 –(1, 0, 1)=(3, 3, 3). Ответ: =(3, 3, 3). Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно! Варианты индивидуальных заданий:
3.2. Даны координаты точки и уравнение прямой : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: . Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. В соответствии с определением симметрии точек пространства относительно прямой нам необходимо провести через точку плоскость , перпендикулярную этой прямой и найти точку пересечения прямой с плоскостью. После этого из точки вдоль прямой отложить отрезок = и определить координаты точки . Итак, пусть имеем: точку = и прямую . Это определяет направляющий вектор прямой . Его можно принять в качестве вектора нормали плоскости : . Точка и вектор определяют плоскость . Представим уравнение прямой в параметрической форме: . Точка пересечения прямой и плоскости может быть найдена из уравнения: → . Имея значение , находим координаты точки : . После этого нахождение координат точки не представляет труда: , или , откуда получаем: = . Пример (и образец оформления): Общая часть. Пусть заданы: точка =(0, -3, 2) и прямая : = = . Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой: . Решение: 1) Определим направляющий вектор прямой : =(1, -1, 1). Тогда = =(1, -1, 1). 2) Запишем уравнение плоскости : , или . 3). Представим уравнение прямой в параметрической форме: . 4). Решим уравнение: → = . 3). Вычислим координаты точки : = . 4). Вычислим координаты точки = =2 –(0, -3, 2)=(1, 1, 1). Ответ: =(1, 1, 1). Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно! Варианты индивидуальных заданий:
3.3. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые. Если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости. Если прямые скрещиваются, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельную второй прямой. Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию. Пусть имеем уравнения двух прямых: : = = , : = = . Из уравнений прямых следуют координаты точек: = , = , и векторов: = , = . Кратко представим названные условия задачи: 1*: Если прямые и параллельны, то || , то есть = . 2*: Прямые и пересекаются, если смешанное произведение: =0. 3*: Прямые и скрещивающиеся, если смешанное произведение: 0. Рассмотрим продолжение решения задачи в каждом из возможных случаев. Случай 1*. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : . Случай 2*. Если прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение плоскости : . Случай 3*. Если прямые скрещивающиеся, то примем: = и вычислим векторное произведение: = x = . Записываем уравнение для : . Замечание: в каждом из возможных случаев приходим к построению одной и той же плоскости: трудоёмкость вычислений и оформления во всех вариантах одинаковы. Пример (и образец оформления): Общая часть. Пусть заданы прямые : = = и : = = . Необходимо исследовать их взаимное положение и построить оговоренную плоскость. Решение: 1) Из уравнений прямых следует: =(1, 2, 3), =(0, 18, 0), =(2, 3, 1), =(3, 1, 2). 2) Построим вектор: = – =(0, 18, 0)– (1, 2, 3)=(-1, 16, -3). 3). Так как векторы и не параллельны, то и прямые и не параллельны. 4). Вычислим смешанное произведение векторов: = , применяя любой из способов вычисления определителя 3-го порядка. В рассматриваемом примере получаем: = =0 → прямые и пересекаются. 3). Примем для использования в уравнении плоскости : = =(1, 2, 3) и вычислим векторное произведение векторов и : = x = = = =(5, -1, -7). 4). Запишем уравнение требуемой плоскости : для рассматриваемого примера: Ответ: прямые и пересекаются; уравнение плоскости: . Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно! Варианты индивидуальных заданий:
|