Примеры. ▼ Определены произведения AB; DA; BC; BD; DB; CD

1. ; ; ; .

▼ Определены произведения AB; DA; BC; BD; DB; CD. Как видим, если произведение AB определено, то это вовсе не означает, что и произведение BA определено тоже. В нашем случае оба произведения определены только для одной пары: BD и DB. Их и вычислим:

;

.

Заметим, что произведения DB и BD не только не совпадают, но даже имеют разные размеры (конечно, по приобретении опыта матрицы надо перемножать устно, а не расписывать так подробно).▲

2. .

▼ Матрицы A и B – квадратные матрицы второго порядка, определены как произведение AB, так и BA. Найдем оба этих произведения:

▲

Из приведенных примеров видим, что в том случае, когда оба произведения AB и BA существуют, они могут быть как одинаковыми, так и разными. Поэтому говорят, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Кроме того, второй пример показывает, что произведение матриц не обладает еще одним известным свойством произведения чисел: если произведение равно 0, то один из сомножителей равен 0. В приведенном примере произведение ненулевых матриц равняется нулевой. Поэтому в матричных равенствах ни в коем случае нельзя сокращать на матрицу. Тем не менее, некоторыми из известных свойств операция произведения матриц обладает.