Степени квадратной матрицы

Если А – квадратная матрица, то определено произведение АА, которое называется квадратом матрицы А и обозначается А ². Квадрат матрицы А является квадратной матрицей того же порядка, что и А, поэтому определено и произведение АА ². Вообще, если для квадратной матрицы определена степень , то по определению .

Лемма 1.2. Для любой квадратной матрицы А и для любого натурального n справедливо равенство .

► Доказательство проведем методом математической индукции.

Проверяем утверждение при n = 1: А А = A A – истинно.

Предполагая, что утверждение верно при n = k, доказываем, что оно верно при n = k +1.

[определение k + 1-й степени] = [предположение индукции] = [ассоциативность произведения] = [определение k + 1-й степени] = .◄

Если произведение матриц коммутативно, то они называются коммутирующими или перестановочными. Таким образом, степени одной и той же квадратной матрицы перестановочны.

Можно доказать, что натуральные степени квадратной матрицы обладают следующими свойствами:

1°. : ;

2°. : .

Если , то по определению считается, что A ⁰ = E.