Напряженное состояние при чистом сдвиге. Потенциальная энергия деформации

Выделим в конструктивном элементе, работающем в условиях чистого сдвига элементарный параллелепипед, боковые грани которого совпадают с поперечными сечениями данного элемента. По этим граням (по закону парности касательных напряжений и на перпендикулярных гранях) будут действовать только касательные напряжения (рис. 7.6). Определим значения главных напряжений и положение главных площадок.

Рис. 7.6. Главные напряжения и главные площадки при чистом сдвиге

Известно (см. формулу (4.30)), что при заданных значениях , и на некоторых произвольных взаимно перпендикулярных площадках, нормальные напряжения на главных площадках определяются соотношением

. (7.6)

Положение же главных площадок (касательные напряжения равны нулю) можно найти из (4.29)

, (7.7)

где — угол, который составляет нормаль к главной площадке с осью .

Тогда при чистом сдвиге мы имеем и из формул (7.6), (7.7) получим

. (7.8)

Таким образом, главные площадки повернуты относительно поперечных сечений конструктивного элемента на угол α =45^°. Если положить, что грани совпадающие с плоскостью рисунка свободные, т.е. действующие на них напряжения раны нулю, то имеем

(7.9)

НДС при чистом сдвиге – плоское. Очевидно, что зная главные напряжения на главных площадках, не представляет труда по известным формулам рассчитать напряжения на произвольных площадках. Анализ полученных соотношений показывает, что при чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку.

Установим связь между касательными напряжениями в поперечном сечении и угловыми и линейными деформациями. Рассмотрим деформацию элемента бруса, работающего в условиях чистого сдвига (рис. 7.7), где исходное состояние – сплошная линия; деформированное – штриховая.

Рис. 7.7. Деформации при чистом сдвиге

Будем пренебрегать деформацией вдоль образующей CD (AB), как величиной второго порядка малости. Тогда

. (7.10)

Линейная деформация вдоль образующей АС равна

. (7.11)

С другой стороны, по формуле обобщенного закона Гука с учетом, что направление АС совпадает с направлением главного напряжения σ ₁, находим

. (7.12)

Приравнивая (7.11) и (7.12), окончательно получим

. (7.13)

Если учесть соотношение (7.5), то получим связь модуля упругости первого рода Е и модуля упругости второго рода (модуля сдвига) G.

. (7.14)

Определим потенциальную энергию деформации при сдвиге. Рассмотрим элемент бруса длиной dx, находящегося в условиях чистого сдвига (рис. 7.8, где F – площадь сечения, в котором действуют касательные напряжения τ).

Рис. 7.8. К определению потенциальной энергии при сдвиге

Поперечная сила Q совершает работу на перемещении dS. Будем считать, что вся совершенная работа переходит в потенциальную энергию деформации, тогда

. (7.15)

Используя соотношения (7.1), (7.4) и (7.5), получим

. (7.16)

Следовательно, потенциальная энергия, накопленная в элементе стержня длиной dz, равна

. (7.17)

Интегрируя выражение (7.17) по длине стержня l, получим

. (7.18)

Удельная (на единицу объема dV) потенциальная энергия деформации при сдвиге определяется следующим образом:

. (7.19)