Описание первичной статистической обработки результатов измерений случайной величины

Пусть измеряется некоторая случайная величина многократно (n раз).

Тогда получим ряд конкретных результатов измерений – вектор

x =(x ₁, x ₂, …, x_n),

представляющих собой реализацию n -мерной случайной величины

Xⁿ =(X ₁, X ₂, …, X_n).

Здесь x ₁= +d₁ – конкретный результат первого измерения (d₁ – конкретная ошибка, допущенная при первом измерении);

x ₂= +d₂ –конкретный результат второго измерения (d₂ – конкретная ошибка второго измерения);

…

x_n = +d _n – конкретный результат n -го измерения (d _n – конкретная ошибка n -го измерения; x₁, x₂, …, x_n, d _{1 ,} d _{2 ,} …_, d _n – конкретные числа).

Полученная в первом измерении ошибка d₁- это случайный результат, т.е. d₁ можно считать реализацией случайной величины D₁, описывающей все возможные ошибки первого измерения.

Следовательно, все возможные результаты первого измерения описываются случайной величиной: X ₁= +D_1.

Все возможные результаты второго измерения описываются случайной величиной: X ₂= +D₂, где D₂ – случайная величина, описывающая все возможные ошибки второго измерения и т.д.

Все возможные результаты n -го измерения: X_n = +D _n.

Совокупность всех возможных результатов измерений, таким образом, описывает вектор Xⁿ со случайными компонентами: X ₁, X ₂, …, X_n:

Xⁿ =(X ₁, X ₂, …, X_n).

Этот n -мерный случайный вектор называется случайной выборкой измерений.

Конкретные результаты n -кратного измерения записывают в виде вектора:

xⁿ =(x ₁, x ₂, …, x_n),

который является реализацией случайной выборки и называется выборкой измерений.

Из описания этого эксперимента следует, что Xⁿ можно считать случайным результатом конкретных измерений случайной величины X, причём X_i (i = ) можно считать i -м экземпляром случайной величины X (состояние СВ Х в i -ом измерении).

Таблица, в которую записываются результаты конкретных измерений СВ Х, называется простым статистическим рядом или простой статистической совокупностью.

Простой статистический ряд имеет вид:

На основе выборки измерений можно решить следующие задачи математической статистики:

1) построить оценку параметра V и исследовать поведение этой оценки в зависимости от Xⁿ, т.е. с учетом всех потенциально возможных значений x_i, (i = );

2) построить оценки:

– функции распределения СВ Х: F (x) =P (X< x),

– плотности распределения СВ Х: f (x)= dF (x)/ dx;

3) построить оценки математического ожидания и дисперсии СВ Х: = M[ X ], =M[(X– ].

Таким образом, реализация xⁿ= (x ₁, …, x_n) случайной выборки xⁿ= (x ₁, …, x _n), служит исходным материалом для статистической обработки результатов измерений.