Построение статистических оценок математического ожидания и дисперсии

Статистические оценки математического ожидания и дисперсии разделяют на точечные и интервальные (доверительные).

Построение точечных оценок

Математическим ожиданием M[ X ] дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

M[ X ] =

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

D[ X ] = M[(X - M[ X ]) ] = p .

Статистической оценкой а * неизвестного параметра а теоретического распределения называют функцию от случайной выборки g (X ₁, X ₂, …, X _n).

Точечной оценкой неизвестного параметра а называют статистическую оценку, реализация которой определяется одним числом a *= g(x ₁, x ₂, …, x _n), где x ₁, x ₂, …, x _n – выборка измерений, т.е. результаты n измерений случайной величины Х.

Реализация точечной оценки математического ожидания СВ определяется по формуле:

,

где объем выборки .

В том случае, когда математическое ожидание известно, реализация точечной оценки дисперсии СВ определяется по формуле:

= .

Если математическое ожидание неизвестно, то в качестве математического ожидания определяется его оценка . В этом случае, реализация точечной оценки дисперсии СВ определяется по формуле:

= .

Выборочная дисперсия характеризует рассеяние наблюдаемых значений выборки около среднего значения .

Построение интервальных оценок

Интервальной называют оценку, которая определяется как интервал с двумя концами (в общем случае случайными), покрывающий оцениваемый параметр.

Интервал , покрывающий оцениваемый параметр, называют интервальной оценкой параметра. Длина интервала зависит от доверительной вероятности ., где - уровень значимости, а также от объема выборки .

Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют доверительными границами, а сам интервал называют доверительным интервалом.

Интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал) имеет вид:

)

Реализация доверительного интервала для математического ожидания имеет вид:

Для нахождения интервальной оценки математического ожидания на практике необходимо вычислить реализацию точечной оценки математического ожидания

и среднего квадратического отклонения (реализацию стандартного отклонения):

.

Значение параметра t _a, находится из таблиц распределения Стьюдента по значениям n и a как решение уравнения:

-вероятность практически достоверного события

-граница практически достоверных значений дроби Стьюдента T_n-1

Границы доверительного интервала для :

=

=

Интервальной оценкой дисперсии служит интервал I_D = ( ₁, ₂),

где , , значения и находят из таблиц -распределения (Приложение 7) по входам a ₁, a ₂ и числу степеней свободы k = n -1.

Вероятности a ₁ и a ₂ вычисляют по формулам:

a ₁=(1+b)/2,

a ₂=(1-b)/2.

Здесь – доверительная вероятность, .

Таким образом, интервальная оценка дисперсии – это интервал вида:

(, ).