Построение доверительных интервалов статистических характеристик

Статистические характеристики (среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) не дают необходимой оценки генеральной совокупности т.к. остаются неизвестными нижние (Х_ниж) и верхние (Х_верх) граничные значения, между которыми можно с определенной вероятностью ожидать генеральную статистическую характеристику.

Для теории педагогических оценок, построения шкал оценок, построения доверительных интервалов необходимо знать процент результатов, лежащих в различном диапазоне варьирования, или колеблемости.

Для оценки варьирования результатов измерений используют следующие соотношения:

± 1, 96 σ интервал включает 95% всех результатов;

± 2, 58 σ интервал включает 99% всех результатов;

± 3, 29 σ интервал включает 99, 9% всех результатов.

Таким образом, отклонения от больше чем на 2 σ следует ожидать в 4–5 случаях из 100, отклонения большего, чем 2, 5 σ – в одном случае из 100, большего, чем 3, 3 σ – в одном из 1000. В статистике существует «правило трех сигм», использующееся при исключении сильно отклоняющихся результатов измерений. Результаты измерений, отклоняющиеся от более, чем на 3 σ, можно считать «ошибочными» и исключить из расчетов.

Доверительные границы Х_ниж и Х_верх определяют по формуле:

Х_{ниж.(верх)}= ± U_a× S ,

где U_a – значение нормированного отклонения для данного уровня значимости a (0, 05, 0, 01 или 0, 001), S – стандартная ошибка средней арифметической.

Предположим у 100 студентов измерили рост, произвели расчет основных статистических характеристик и получили следующие данные:

= 178, 4 см; σ = 5, 72 см; S = 0, 57.

Выберем 5%-й уровень значимости, значит U = 1, 96 (для a = 0, 05).

Определим нижние и верхние граничные значения.

Х_ниж= – U_a× = 178, 4 – 1, 96 × 0, 57 = 177, 28

Х_верх= + U_a× = 178, 4 + 1, 96 × 0, 57 = 179, 52

Значения доверительных границ для a = 0, 01 (U = 2, 58) будут следующими:

Х_ниж= – U_a× = 178, 4 – 2, 58 × 0, 57 = 176, 93

Х_верх= + U_a× = 178, 4 + 2, 58× 0, 57 = 179, 87

Следовательно, в 95% случаев значения длины тела студентов, охваченных обследованием, будут находится в интервале от 177, 28 до 179, 52 см, а в 99% – в интервале от 176, 93 до 179, 87 см.