Кривых равновесия.

Для подтверждения работоспособности метода и его разрешающих уравнений (2.2.6) была создана экспериментальная установка (рис.2.2.3), пространственный чертёж которой изображен на рис. 2.2.4.

Рис 2.2.3

Испытываемый образец 1 представлял собой симметричный двухзвенник, выполненный из материала В-95 согласно чертежу, приведенному на этом же рисунке. Каждое звено работает аналогично 3-х шарнирному рулю. Один из торцов двухзвенника закреплен в устройстве 2, изображенном на рис. 2.2.5, не препятствующем депланациям поперечного сечения конструкции и реализующем граничные условия, похожие на управление рулем. Нагружение осуществлялось винтом 3 через жесткий стержень, ограничивающий прогиб жесткой связью, а величина силы Р в процессе нагружения замерялась с помощью тензодинамометра 4, представляющего собой металлическую пластину с наклеенными на неё тензодатчиками и цифрового измерительного моста ЦТМ-3.

Такой способ нагружения (с помощью которого фактически задается прогиб на конце конструкции) позволяет, не подвергая конструкцию риску быть разрушенной вследствии “скачкообразного” увеличения прогиба, довольно точно определить значения как верхней, так и нижней критических нагрузок, провести замеры даже на участке неустойчивого равновесия.

На рис. 2.2.6 представлено нелинейное теоритическое решение: углы закручивания “руля” φ и нормальные напряжения в его задней кромке σ в сечении по среднему шарниру при α =0, 25 радиана – которое, как видно из рисунка, принципиально отличается от традиционного. Однако результаты эксперимента (на рисунке обозначены кружочками) хорошо согласуются с нелинейным решением, подтверждая предлагаемую теорию не только качественно, но и количественно.

Рис 2.2.6

Нагрузка, соответствующая точке А, является для данной конструкции критической. При переходе через точку А конструкция скачком переходит в новое равновесное состояние, несмежное с первоначальным (точка В). Переход этот сопровождается резким изменением деформаций и получил название катастрофическое изменение формы - прощелкивание [3-5]. Если конструкция при этом не разрушается, то разгрузка ее соответствует кривой ВС и также имеет скачок из С в D.

Кривая j () на рис.2.2.6 представляет собой " кривую равновесия". Решение нелинейных систем методом последовательных нагружений сводится к построению таких кривых. На основании вида этих кривых согласно методу Пуанкаре, развитому А.А. Андроновым и его последователями, можно судить об устойчивости упругой системы.

Сущность подхода Пуанкаре состоит в следующем. Если движение материальной точки описывается уравнением

, (2.2.8)

где j – перемещения точки,

Р – параметр нагрузки, то ее равновесие имеет вид:

F( j, Р) = 0. (2.2.9)

Уравнение (2.2.9) определяет на плоскости j Р некоторую " кривую равновесия", на которой каждому значению Р соответствует одно или несколько положений равновесия. Эта кривая будет непрерывна по крайней мере до тех пор, пока в ее точках будет существовать производная . Определим эту производную, продифференцировав выражение (2.2.9) по Р:

откуда

(2.2.10)

При = 0 и ¹ 0 наша кривая имеет вертикальную касательную. Когда Р переходит через значение, соответствующее этой точке, два действительных значения j сливаются и затем становятся комплексными. Такое положение равновесия называется предельным, а точки, ему соответствующие, (А и С на рис. 2.2.6) - предельными точками.

Пуанкаре впервые заметил, что особые точки (предельные, а также точки, соответствующие =0-точки бифуркации) обладают замечательным свойством: в них происходит смена устойчивости. При переходе через особую точку равновесие из устойчивого становится неустойчивым, и наоборот.

Подтверждение тому можно получить динамическим методом, записывая уравнение малых колебаний точки относительно положения равновесия:

Задаваясь решением этого уравнения в виде

получим

Устойчивой форме соответствуют действительные значения W, а неустойчивой - комплексные. При переходе от устойчивой формы к неустойчивой меняет знак с плюса на минус. В случае статической (дивергентной) неустойчивости эта смена возможна лишь с переходом через ноль и, следовательно, в точке смены устойчивости

= 0.

Далее по особым точкам на кривых равновесия будем судить о смене устойчивости как в консервативных, так и в неконсервативных системах, с одной лишь оговоркой, что применительно к неконсервативным системам особые точки определяют квазистатические формы неустойчивости.

Кривые и на рис.2.2.6 вычислялись по теории больших перемещений. Следует заметить, что расчет по теории конечных перемещений дает результаты, далеко не соответствующие эксперименту [5].