Линейная функция тренда

Пусть статистические точки ретроряда располагаются в некотором узком коридоре, который ограничен прямыми линиями (рисунок 1.3). Каждой точке ряда в момент времени t _i соответствует значение параметра x _i. Общее количество точек равно n.

Рисунок 1.3 – Аппроксимация ретроряда линейной функцией.

Для такой картины распределения статистических точек в качестве функции тренда логично принять линейную зависимость параметра от времени

.

Эта прямая линия должна располагаться в указанном коридоре и отражать осредненную зависимость параметра от времени. Точное положение этой линии определяется параметрами a и b.

Каждая статистическая точка x _i(t _i) имеет отклонение (ошибку) относительно прямой тренда в точке t _i, x _i(t _i)

.

Наилучшие значения параметров a и b, обеспечивающих наименьшую ошибку аппроксимации, отыскиваются по методу наименьших квадратов. Согласно этому методу наиболее точному положению функции тренда соответствует наименьшая сумма квадратов отклонений статистических точек от аппроксимирующей линии

.

Минимум этой суммы обеспечивает наименьшую величину средней квадратической ошибки, определяющей точность аппроксимации статистического ретроряда

.

Условия минимума S определяют равенство нулю частных производных

;

.

После преобразований получаем два уравнения с неизвестными a и b

;

,

здесь детерминанты уравнений определяются параметрами

; ;

;

и решения уравнений (искомые параметры тренда) равны

;

;

.

Прогнозируемое значение параметра

.

Параметры х ₀ и х _п определяют положение апроксимирующей прямой на графике х (_t).

Вычислив значения этой функции в точках t _i, можно определить отклонения ∆ _i, сумму квадратов отклонений S и определить среднюю квадратическую ошибку s.

Вычисление перечисленных параметров удобно свести в расчетную таблицу, руководствуясь изложенным выше порядком расчета, или составить компьютерную программу по определению параметров функции тренда, или воспользоваться соответствующей программой из широко известного комплекса Mathlab.