Условные вероятности и теорема умножения

На практике часто встречаются ситуации, когда наступление некоторого события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности. Такие события называются зависимыми. Если произошло событие В, то новая вероятность события А (вычисленная при условии, что событие В уже наступило) называется условной вероятностью, обозначается и определяется формулой (при ):

Опираясь на эту формулу и учитывая симметрию событий А и В, получают формулы теоремы умножения, которые имеют для зависимых событий А и В вид:

Независимыми называются события А и В, для которых выполнены условия: или . Для независимых событий теорема умножения принимает вид:

ПРИМЕРЫ:

1. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 из них неисправны, но неизвестно какие именно. Найти вероятность того, что 2 взятых наугад холодильника окажутся неисправными.

Вероятность того, что первый выбранный холодильник окажется неисправным (событие А) вычислим непосредственно Р (А) = 5/35 = = 1/7.

Если первый холодильник оказался неисправным, то вероят­ность того, что второй холодильник окажется неисправным (событие В) рассчитаем как условную вероятность:

Искомую вероятность совмещения этих событий найдем по первой из формул теоремы умножения:

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из каждого из двух орудий составляет 0, 8 и 0, 7 соответственно. Найти вероятность промаха при одном залпе (одновременном выстреле) из двух орудий.

Вероятность промаха первого орудия (событие А) равна Р (А) = 0, 2, а второго (событие В) – Р (В) = 0, 3. События А и В совместные и независимые, поэтому искомую вероятность их совмещения находим по второй формуле теоремы умножения: