Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, или множество ее возможных значений является конечным или счетным.

3. ПРИМЕР: В предыдущем примере количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть дискретная случай­ная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями, т.е. вероятностями событий (Х = х). При этом закон распределения может быть задан таблично (в виде табли­цы), аналитически (в виде формулы для расчета вероятностей) и графически (в виде полигона).

Наиболее часто закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы:

Поскольку в одном испытании случайная величина может принять одно и только одно возможное значение, события образуют полную группу, поэтому: .

ПРИМЕР: В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 выигрышей по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша владельца одного лотерейного билета.

Возможными значениями величины Х являются: х₁ = 1000, х₂ = 100, х₃ = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р₁ = 0, 01; р₂ = 0, 1 и р₃ = 1 – (р₁ + р₂) = 0, 89. Поэтому искомый закон распределения можно представить в виде:

Кроме закона распределения, дискретную случайную можно характеризовать числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией.

Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется число, определяемой формулой:

Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Если число возможных значений случайной величины Х конечно и равно n, а вероятности этих значений p_n = 1 / n, то математическое ожидание совпадает с обычным средним значением величин , т.е. .

Математическое ожидание обладает следующими основны­ми свойствами:

Дисперсией D (X) случайной величины Х называется число, равное математическому ожиданию квадрата разности [ X – M (X)], для дискретных случайных величин дисперсия определяется формулой:

Для практических вычислений дисперсии обычно используют более удобную формулу:

Дисперсия обладает следующими основными свойствами:

1. D (C) = 0, где С – постоянная величина.

2. D (CX) = C²D (X), где С – постоянная величина.

3. D (X ± Y) = D (X) + D (Y), если Х и Y – независимые величины.

Другой мерой рассеивания случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина, является среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением s (Х) случайной величины Х называется число, определяемое формулой:

.

ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х – стоимо­сти выигрыша владельца одного лотерейного билета предыду­щего примера имеем:

Для дискретной случайной величины с известным законом распределения функция распределения будет являться кусочно-постоянной функцией с ординатами:

При этом скачки значений функции F (x) в точках разрыва x = x_i будут равны p_i.

ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Перечислим основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения – монотонно неубывающая функция.

2. Функция распределения непрерывна слева.

3.