Анализ функционирования системы массового обслуживания

Полагая, что покупатели прибывают в магазин «случайно» можно считать, что вероятность прибытия покупателя за любой малый промежуток времени [t, t+t], начинающийся в произвольный момент времени t и имеющий продолжительность t с точностью до пренебрежимо малых величин пропорционально величине t c некоторым коэффициентом l [5] > 0. Вероятность того, что за этот промежуток времени в магазин не прибудет ни одного покупателя может быть приблизительно оценена как 1-lt.

Исходя из этого, в теории вероятностей делаются выводы:

Ø промежутки времени t между двумя приходами покупателей подчиняются экспоненциальному распределению

j_(t) = l*exp(-l*t), t ³ 0

Ø вероятность того, что за любой промежуток времени Т в магазин прибудет k покупателей (клиентов, заявок…) может быть определена как

т.е входной поток покупателей является пуассоновским.

l - интенсивность входного потока, т.е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

l = 1/t [ чел/мин; руб/час; чеков/час; кг/час…]

где t - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками (приходами покупателей).

Ø Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально.

f(t) = l*exp(-nt_оч)

где n - интенсивность движения очереди(среднее число заявок, поступающих на обслуживание в единицу времени;

n = 1/t_оч . t_оч - среднее значение времени ожидания в очереди.

Ø Выходной поток заявок (заявок, прошедших обслуживание) связан с потоком обслуживания в канале СМО также, в большинстве случаев, подчиняется показательному закону распределения с плотностью

F(t_обсл) = m*exp(-mt_обсл) (1‑ 3)

где m - интенсивность обслуживания в канале (одним продавцом…), т.е. среднее число заявок (клиентов), обслуживаемых в единицу времени.

m = 1/t_обсл = [ чел/мин; руб./день; кг./час; докум./день….]

Ø Одной из наиболее важных характеристик СМО, связывающей показатели l и m, является интенсивность нагрузки (r),

r = l/m, (1‑ 4)

которая показывает степень согласованности входного потока заявок с интенсивностью их обслуживания.

Величину r часто называют приведенной плотностью потока требования (заявок) или интенсивностью нагрузки - среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.

Важно заметить, что параметр r характеризует степень согласованности входного потока (например, покупателей в магазине) с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при r < n. Если же r ³ n, то в системе будет возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателей начала обслуживания, и, следовательно, проектируемая СМО будет работать неустойчиво.

F Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда n – канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более m требований). При этом, мы предполагаем, что входящий поток требований на обслуживание описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью l, а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью m.

Ø Вероятность того, что в системе отсутствуют требования (Р₀) может быть определена по формуле:

(1‑ 5)

Ø Вероятность того, что в системе обслуживания находятся k требований на обслуживание (P_k) может быть определена как:

(1‑ 6)

(1‑ 7)

Отношение r/n часто обозначается через Х и называетсяуровнем загрузки системы.

Х = r/n (1‑ 8)

Если Х = r/n < 1, то очередь на обслуживание не образуется и система находится в стационарном состоянии, которое характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течении заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Ø Вероятность отказа в обслуживании требования (заявки, клиента…), если в систему поступает n+m [6] заявок на обслуживание