Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции в точках с помощью формулы:

.

Затем находится значение правой части исходного уравнения в средней точке и затем полагается , .

Эти формулы являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом

со вторым порядком точности.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

.

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

.

Эти формулы являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге. Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .

Приближенным решением будут значения .

Пример 2. Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг . Тогда , и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид: , где

, ,

, .

Решение представим в виде таблицы 7.

Таблица 7

			0, 1	0, 1	1, 1	0, 1836
	0, 2	1, 1836	0, 0850	0, 3	1, 2682	0, 1590
	0, 4	1, 3426	0, 0747	0, 5	1, 4173	1, 1424
	0, 6	1, 4850	0, 0677	0, 7	1, 5527	0, 1302
	0, 8	1, 6152	0, 0625	0, 9	1, 6777	0, 121
		1, 7362

Третий столбец таблицы 3 содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 2, видим, что погрешность составляет

.

Пример 3. Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примерах 1 и 2. Так же, как и ранее, зададим шаг . Тогда

.

В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

,

где , , , , .

Решение представим в виде таблицы 8.

Таблица 8

			0, 1	0, 2	1, 2	0, 867
	0, 2	1, 1867	0, 0850	0, 4	1, 3566	0, 767
	0, 4	1, 3484	0, 0755	0, 6	1, 4993	0, 699
	0, 6	1, 4938	0, 0690	0, 8	1, 6180	0, 651
	0, 8	1, 6272	0, 0645		1, 7569	0, 618
		1, 7542

Таблица 8 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 8 содержит приближенное решение .

Сравним полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 7. Видим, что погрешность составляет .