Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

.

Аналогично составляются разности k-го порядка:

.

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

.

Используя конечные разности, можно определить

.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

.

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем , то есть использовать эту формулу для всех . Для других случаев вместо принять , если при . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции , причем . Из-за этого при больших значениях мы не можем вычислить высших порядков .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

.

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

х	у
		0, 1002
0, 1	0, 1002		0, 0009
		0, 1011		0, 0012
0, 2	0, 2013		0, 0021		-0, 0002
		0, 1032		0, 0010		0, 0001
0, 3	0, 3045		0, 0031		-0, 0001
		0, 1063		0, 0009
0, 4	0, 4108		0, 0040
		0, 1103
0, 5	0, 5211

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример. Задана таблица. Найти .

х
	0, 2588
		0, 0832
	0, 3420		-0, 026
		0, 0806		0, 0006
	0, 4226		-0, 032
		0, 0774		0, 0006
	0, 5		0, 038
		0, 0736
	0, 5736

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.