Приклади розв’язання задач.

1. Нехай у просторі задана деяка лінія та вектор , який задає певний напрям.

Означення 1. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та паралельні даному напряму, називають циліндричною поверхнею.

Для того, щоб скласти рівняння такої поверхні в деякій афінній системі координат, вважатимемо, що лінія задана системою рівнянь

, (1)

тобто задана, як лінія перетину двох поверхонь, а вектор заданий своїми координатами: . Нехай точка належить циліндричній поверхні. Проведемо через неї у напрямку вектора пряму, яка перетне лінію у деякій точці , (рис. 1). Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які зв’язують координати векторів:

. (2)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

. (3)

Підставляючи рівності (2) в (3), дістаємо

.

Одержані співвідношення містять змінний параметр , виключаючи який із системи, дістаємо деяку рівність , яка зв’язує змінні та і є шуканим рівнянням циліндричної поверхні. Лінію називають напрямною, а прямі, які перетинають та мають напрям вектора - твірними циліндричної поверхні.

Користуючись наведеним алгоритмом, складемо рівняння циліндричної поверхні, напрямною якої є лінія, що лежить в площині та має рівняння , а твірні паралельні до осі . Рівності (2) у цьому випадку матимуть вигляд

.

Підставляючи їх у систему

,

дістаємо рівняння циліндричної поверхні , яке, як бачимо, співпадає з рівнянням лінії. Вибираючи в ролі напрямних лінії другого порядку: еліпс (зокрема коло), гіперболу та параболу, дістаємо три види поверхонь другого порядку, які є частинними випадками циліндричних поверхонь: - еліптичний циліндр (зокрема - круговий циліндр, рис. ), - гіперболічний циліндр (рис. ) та - параболічний циліндр (рис. ).

2. Нехай у просторі задана деяка лінія та точка .

Означення 2. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та проходять через дану точку , називають конічною поверхнею.

Знайдемо рівняння конічної поверхні, вважаючи, що лінія задана системою рівнянь

,

а точка задана своїми координатами: .

Нехай точка належить конічній поверхні. Проведемо через неї та точку пряму, яка перетне лінію в деякій точці (рис. 3).

Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які пов’язують координати векторів:

. (4)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

,

підставляючи в які співвідношення (4), дістаємо

.

Виключаючи з одержаних рівностей змінний параметр , дістаємо співвідношення

,

яке і є рівнянням конічної поверхні. Лінію називають напрямною, прямі, які перетинають та проходять через точку - твірними, а точку - вершиною конічної поверхні.

Складемо рівняння конічної поверхні, напрямною якої є лінія

,

тобто еліпс, розташований в площині , а вершина знаходиться у початку координат. Нехай точка належить конічній поверхні, а точка належить заданій напрямній та променю . З векторної рівності дістаємо

.

Підставивши одержані співвідношення у систему ,

отримуємо рівності

,

звідки, виключаючи параметр , дістаємо

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням шуканої конічної поверхні. При напрямна

буде колом, а рівняння (5) зведеться до виду

.

Це рівняння задає поверхню другого порядку, яку називають круговим конусом (рис. 4).

3. Перейдемо до розгляду поверхонь, які утворюються при обертанні деякої лінії навколо певної прямої. Вважатимемо, що лінія та пряма лежать в одній площині. Такі поверхні називаються поверхнями обертання.

Нехай у площині рівняння , де , задає деяку лінію . Розглянемо поверхню, утворену в результаті її обертання навколо осі (рис.5).

Нехай точка належить поверхні. Проведемо через неї площину перпендикулярно до осі , яка перетне вісь в деякій точці , а також лінію у точці . Оскільки та , то

. (5)

Одержана рівність виражає зв'язок між змінними та , тому є рівнянням шуканої поверхні. При дістаємо , тому рівність (5) залишається вірною, тобто рівняння (5) в усіх випадках є рівнянням шуканої поверхні обертання.

Наведемо приклади поверхонь обертання. Нехай у площині задана пряма . При її обертанні навколо осі дістаємо поверхню, яка задається рівнянням , тобто є конусом. При обертанні навколо осі прямої дістаємо круговий циліндр . Обертання еліпса , гіперболи , або параболи навколо осі приводить нас до рівнянь , та відповідно, які, як нам уже відомо, виражають еліпсоїд, гіперболоїд та параболоїд обертання.

4. Введемо поняття прямолінійних твірних поверхонь другого порядку.

Означення 3. Пряму, кожна точка якої належить поверхні, називають прямолінійною твірною цієї поверхні.

Очевидно, що кожна твірна циліндричної та конічної поверхні є її прямолінійною твірною. Дослідимо питання існування прямолінійних твірних у випадку інших поверхонь. Не розглядаючи поверхні еліпсоїда, двопорожнинного гіперболоїда та еліптичного параболоїда, для яких, очевидно, прямолінійних твірних не існує, зупинимось на випадку однопорожнинного гіперболоїда. Розглянемо його канонічне рівняння , яке запишемо у виді

. (6)

Крім цього розглянемо системи рівнянь

(7)

та

, (8)

де та - довільні числові параметри. Кожне з рівнянь систем є рівнянням першого степеня, тобто визначає в просторі деяку площину. Оскільки дві довільні площини з кожної системи перетинаються, то обидві системи задають - та - параметричні множини прямих. Очевидно, що кожний розв’язок систем (7) та (8) задовольняє рівняння (6), тому ці системи задають - та - параметричні сім’ї прямолінійних твірних однопорожнинного гіперболоїда.

Будемо вважати, що системи (7) та (8) містять, як частинні випадки, рівняння прямих

та .

Їх не можна отримати із даних систем при будь-яких скінчених значеннях параметрів - та , але можна розглядати, як результат граничного переходу в системах

та

при та .

Доведемо наступне твердження.

Теорема. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить рівно по одній прямій з кожної - та - параметричних сімей прямих (7) та (8). Дві довільні прямолінійні твірні, які визначаються однією системою, мимобіжні, а дві прямолінійні твірні, визначені різними системами, при умові перетинаються.

Доведення. Нехай точка належить поверхні. Тоді її координати задовольнятимуть як рівняння (6), так і системи (7) та (8), в яких значення параметрів - та потрібно вибрати, як розв’язки рівнянь, одержаних із систем після підставляння координат точки . Таким чином, через кожну точку поверхні проходить хоча б по одній прямій з кожної - та - параметричних сімей прямолінійних твірних.

Тепер припустимо, що через точку проходить дві різні прямі

та ,

визначені системою (7) при різних значеннях параметрів . Тоді з рівностей

випливає, що , що суперечить припущенню. Цим самим показано, що дві різні прямі, визначені системою (7) (аналогічно системою (8)), не можуть мати спільних точок.

Для того, щоб встановити, як розташовані дві прямолінійні твірні, визначені різними системами, дослідимо на сумісність систему, утворену із рівнянь систем (7) та (8). Використовуючи відомі методи лінійної алгебри, знайдемо ранги основної та розширеної матриць, складених із коефіцієнтів біля змінних та вільних членів.

Дістаємо

.

Якщо або , але , то легко бачити, що ранги матриць рівні, тобто система рівнянь сумісна. Якщо ж , то одержану матрицю можна звести до виду

,

звідки видно, що якщо , то ранги матриць рівні, тобто система рівнянь сумісна, а прямолінійні твірні перетинаються. При ранги матриць різні, тому система несумісна. Теорема доведена.

Встановимо, як розташовані прямі у випадку . Для цього ще раз розглянемо системи (7) та (8), поклавши у системі (8) . Знайдемо напрямні вектори та прямих (7) та (8), як векторні добутки векторів, перпендикулярних до площин, при перетині яких утворюються прямі. Маємо

,

.

Як бачимо, вектори та колінеарні, тому прямі (7) та (8) паралельні. Зауважимо, що на даний факт не звернули увагу автори [1], що привело до невірного формулювання теореми 2 у §169.

Нехай гіперболічний параболоїд заданий рівнянням . Запишемо це рівняння у виді

. (9)

Розглянемо системи рівнянь

(10)

та

, (11)

де та - довільні параметри. Як і в попередньому випадку, кожне з рівнянь систем є рівнянням першого степеня, тобто визначає в просторі деяку площину. Дві довільні площини, які задаються рівняннями кожної системи, перетинаються, тому ці системи задають - та - параметричні множини прямих. Очевидно, що кожний розв’язок систем (10) та (11) задовольняє рівняння (9), тому вони задають - та - параметричні сім’ї прямолінійних твірних гіперболічного параболоїда.

Через кожну точку гіперболічного параболоїда проходить рівно по одній прямій з кожної - та - параметричних сімей прямих (10) та (11). Дві довільні прямолінійні твірні, які визначаються однією системою, мимобіжні, а дві прямолінійні твірні, визначені різними системами, перетинаються. Справді, припустимо, що через точку проходить дві різні прямі

та ,

одержані із системи (10) при та . Тоді з других рівнянь систем випливає, що , що вказує на помилковість припущення. Оскільки дві різні прямі, визначені системою (10), не можуть мати спільних точок і не паралельні, то вони мимобіжні. Аналогічні міркування здійснюються у випадку системи (11).

У випадку двох прямолінійних твірних, визначених різними системами, висновок про їхній перетин випливає із сумісності системи

,

розв’язком якої є .

Зауважимо, що прямолінійні твірні розглянутих вище поверхонь мають технічні застосування. Зокрема, несучі конструкції даху олімпійського зимового палацу в японському місті Саппоро, який має форму гіперболічного параболоїда,

зроблені у вигляді металевих балок, які є прямолінійними твірними поверхні. Конструкції з металевих балок, які зафіксовані так, як проходять прямолінійні твірні однопорожнинного гіперболоїда обертання, використовуються при будівництві водонапірних башт, телевізійних вишок.

Розглянемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням прямої навколо осі .

Розв’язання. Нехай точка належить поверхні обертання. Проведемо через цю точку площину, перпендикулярно до осі . Нехай вона перетинає вісь в деякій точці та задану пряму в точці . Оскільки площина перетинає поверхню обертання по колу, то , звідки або . Очевидно, що ця поверхня являє собою однопорожнинний гіперболоїд обертання з віссю та центром у точці ().

Задача 2. Скласти рівняння поверхні, утвореної рухом прямої, яка одночасно перетинає три задані мимобіжні прямі

та .

Розв’язання. Нехай точка належить шуканій поверхні, а пряма, що проходить через точку , перетинає задані прямі в точках та відповідно. Із колінеарності векторів та дістаємо рівності . Прирівнюючи координати, отримуємо систему рівнянь , , з якої потрібно виключити змінні параметри та . Послідовно знаходимо , звідки . Тепер із рівності дістаємо , або, остаточно, . Зауважимо, що отримане рівняння є рівнянням гіперболічного параболоїда. Його можна дістати із відомого нам рівняння , перейшовши до іншої системи координат, а саме до координатної системи, утвореної поворотом даної на кут навколо осі . Взаємно перпендикулярні прямолінійні твірні поверхні , які лежать в площині та задаються рівняннями , у цьому випадку займають положення нових координатних осей.