Задачі. 1. Дослідимо, як розташовані в просторі пряма та площина , знаючи рівняння цих фігур:

1. Дослідимо, як розташовані в просторі пряма та площина , знаючи рівняння цих фігур:

: , : ^.

Пряма буде паралельною до площини , якщо вектор , який паралельний до прямої, буде одночасно паралельним до площини. Використовуючи умову паралельності вектора до площини, дістаємо

. (1)

Одержана рівність є необхідною і достатньою умовою паралельності прямої та площини. Якщо, крім умови (1), точка прямої належить також площині , тобто виконується рівність , то пряма належить площині . Якщо умова (1) не виконується, то пряма та площина перетинаються. При необхідності їх точку перетину можна знайти, розв’язавши відповідну систему рівнянь.

Нехай система координат прямокутника декартова та пряма перетинає площину. Якщо при цьому вектор , який паралельний до прямої , та вектор який перпендикулярний до площини , будуть колінеарними, тобто, якщо виконуються рівності , топряма буде перпендикулярною до площини. У цьому випадку кут, який вона утворює з площиною, дорівнює (рис. 1).

Нехай пряма не перпендикулярна до площини . Знайдемо кут між прямою та площиною, тобто гострий кут між прямою та її ортогональною проекцією на площину – прямою (на рис. 2 - це кут між прямими та ). Щоб визначити даний кут скористаємося векторами та . Позначивши кут між ними через , дістаємо

.

Оскільки у випадку, коли кут - гострий та , якщо кут -тупий, то в обох випадках дістаємо

звідки

.

2. Як відомо, дві прямі в просторі можуть бути паралельними (зокрема співпадати), перетинатися або бути мимобіжними. Встановимо, як розпізнавати ці випадки, якщо кожна з двох прямих задана точкою яка належить прямій, та напрямним вектором .

Очевидно, що випадок, коли обидві прямі лежать в одній площині (тобто прямі паралельні або перетинаються), чи мимобіжні, залежить від того компланарні, чи ні вектори та (рис. 3). Нагадаємо, що необхідною та достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку. Тому розглянемо число

.

Якщо , то вектори , та компланарні, тому прямі та лежать в одній площині. Якщо при цьому вектори та колінеарні, тобто виконуються умови

Якщо , а умова (2) не виконується, то прямі та перетинаються. Прямі та можуть співпадати, якщо крім умови (2) виконується також рівність

яка означає, що точка на другій прямій одночасно належить також і першій прямій.

Якщо , то вектори , та не компланарні, а прямі та мимобіжні.

Кутом між двома мимобіжними прямими в просторі називають кут між двома прямими, які проходять через деяку спільну точку і паралельні до заданих прямих. У випадку аналітичного задання мимобіжних прямих та кут між ними шукають як кут між їхніми напрямними векторами та

.

3. Нехай дві мимобіжні прямі задані своїми канонічними рівняннями

: .

Поставимо задачу відшукання рівняння спільного перпендикуляра до цих прямих, тобто рівняння прямої, яка перетинає задані прямі та перпендикулярна до них. Водночас виведемо співвідношення для відшукання відстані між цими прямими. Існування та єдиність спільного перпендикуляра обґрунтовується в шкільному курсі геометрії. Для побудови спільного перпендикуляра до прямих та через пряму проведемо площину , яка паралельна до прямої . Для цього використаємо точку та вектори , які паралельні до . Аналітично рівняння площини запишеться у виді рівності

.

Нехай після необхідних обчислень одержане рівняння запишеться у виді . Позначимо через вектор, який перпендикулярний до площини . Після цього проведемо дві площини та , кожна з яких перпендикулярна до площини та проходить через прямі та відповідно. При цьому площина визначається точкою та паралельними до неї векторами та , а площина - точкою та паралельними до неї векторами та .

Рівняння площин та можна записати у виді рівностей

, .

Пряма , по якій перетинаються площини та , буде шуканим спільним перпендикуляром до прямих та (рис. 4). Рівняння спільного перпендикуляра до прямих та можна одержати у вигляді системи рівнянь, які задають площини та .

Відстань між прямими та можна знайти, як відстань від точки до площини , тобто

.

4. Розглянемо приклади розв’язання задач:

Задача 1. Знайти точку, симетричну точці відносно площини , заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо параметричні рівняння прямої , яка перпендикулярна до площини Для цього використаємо точку та вектор , який, будучи перпендикулярним до площини , буде паралельним до прямої (рис. 5). Дістаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь

,

знаходимо , Знайдена точка є точкою перетину прямої із заданою площиною. Нехай - точка, симетрична точці відносно площини . Тоді точка буде серединою відрізка . Із рівностей дістаємо .

Відповідь. .

Задача 2. На якій відстані від початку координат проходить пряма : ?

Розв’язання. Проведемо через точку площину перпендикулярно до заданої прямої та знайдемо точку перетину прямої із . Очевидно, що вектор , який паралельний до прямої , буде перпендикулярним до , тому рівняння запишеться у виді Запишемо рівняння у параметричному виді та розв’яжемо систему рівнянь

Дістаємо Отже, . Довжина відрізка є шуканою відстанню.

Відповідь. .

Задача 3. Знайти відстань між діагоналлю куба та мимобіжною діагоналлю однієї з його граней, якщо ребро куба рівне 1. Встановити, які з точок діагоналей знаходяться на даній відстані.

Розв’язання. Нехай - заданий куб. Знайдемо відстань між мимобіжними прямими та . Для цього введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, вибравши за початок координат точку та спрямувавши осі та відповідно у напрямку ребер та . Знаходимо координати необхідних точок: та векторів: . Через діагональ проведемо площину , яка паралельна до прямої . Її рівняння запишеться у виді

або . Знаходимо відстань від точки до площини : . Це і є шукана відстань. Щоб дати відповідь на питання, які з точок діагоналей знаходяться на даній відстані, складемо рівняння спільного перпендикуляра до прямих та . Для цього складемо рівняння площин та , кожна з яких перпендикулярна до площини та проходить через прямі та відповідно. Дістаємо

: , : ,

звідки , . Таким чином, рівняння спільного перпендикуляра до прямих та запишеться у виді . Дана пряма перетинає діагональ в точці , оскільки для всіх точок прямої , а діагональ , для кожної точки якої , - у точці .