Приклади.

1. Розглянувши геометричні образи рівнянь першого степеня на площині та в просторі (пряма та площина), зупинимось на дослідженні рівнянь другого степеня.

Загальне рівняння другого степеня відносно змінних та можна записати у виді

, (1)

де хоча б один із коефіцієнтів a, b та c відмінний від нуля. З окремими випадками таких рівнянь ми уже зустрічалися, розглядаючи рівняння (коло з центром у точці , радіус якого дорівнює ), (парабола, вісь якої паралельна до осі ), (або , рівностороння гіпербола, дві вітки якої розташовані в першій та третій або другій та четвертій координатних четвертях у залежності від знаку параметра ). Проте наведені приклади не вичерпують усі можливі випадки ліній, які задаються рівнянням (1). Наприклад, рівняння визначає дві прямі, які перетинаються. У цьому легко переконатися, перетворивши рівняння до виду . Рівняння має єдиний розв’язок , що стає очевидним, якщо його записати у виді . Рівняння або взагалі не задовольняє жодна пара дійсних чисел.

Скільки та які типи ліній визначає рівняння (1), ми дослідимо дещо пізніше, а поки що розглянемо деякі лінії, рівняння яких можна отримати, як частинні випадки рівняння (1).

2. Еліпс. Розглянемо на площині дві точки та , відстань між якими позначимо 2 с та поставимо задачу відшукання геометричного місця всіх точок, сума відстаней від кожної з яких до точок та є сталою, яка дорівнює деякому числу 2 а. Будемо вважати, що , оскільки при шукана множина точок буде порожньою, а при утворить відрізок .

Означення 1. Множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою величиною, яка більша від довжини відрізка , називається еліпсом.

Точки та називаються фокусами еліпса. Щоб скласти рівняння еліпса, введемо прямокутну декартову систему координат , вибравши за точку середину відрізка та прийнявши пряму за вісь (рис.1). Фокуси еліпса відносно введеної системи координат матимуть координати F ₁(c; 0), F ₂(- c; 0). Нехай M (x; y) - одна із точок шуканого геометричного місця . Тоді, згідно з означенням еліпса,

. (2)

Скориставшись формулою відстані між двома точками, дістаємо

Для спрощення одержаного співвідношення, запишемо його у виді

,

звідки

,

або

(3)

Підносячи до квадрату обидві частини одержаної рівності, отримуємо

(4)

або

. (5)

Оскільки a > c, то вираз додатній, тому, ввівши заміну = та розділивши рівність (5) на , дістаємо

(6)

Отже, координати кожної точки на еліпсі задовольняють рівняння (6). Покажемо, що кожен розв’язок рівняння (6) задає точку на еліпсі. Нехай – розв’язок рівняння (6) та М (x; y) - відповідна точка. Тоді пара чисел (x; y) задовольняє рівняння (5) та (4). Запишемо рівняння (4) у виді , звідки випливає, що

.

Очевидно, що для розв’язків рівняння (6) повинна виконуватись умова (якщо , то і рівність (6) неможлива). Оскільки , то , тому вираз - додатній. Таким чином,

. (7)

Міркуючи аналогічно, дістаємо

. (8)

Тому , тобто точка М належить еліпсу. Таким чином, доведено, що рівняння (6) є рівнянням еліпса. Його називають канонічним рівнянням еліпса.

Рівняння є рівнянням другого степеня, тому еліпс – це лінія другого порядку. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М. Співвідношення (7), (8) дозволяють обчислювати довжини фокальних радіусів, знаючи тільки абсцису точки, яка належить еліпсу.

3. Гіпербола. Нехай на площині задані точки та та . Знайдемо геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до точок та є сталою величиною, яка дорівнює заданому числу 2 а.

Будемо вважати, що . Якщо , то шукане геометричне місце точок утворювало б два промені, які доповнюють відрізок F ₁ F ₂ до прямої. Якщо , то шукана множина точок буде порожньою, що випливає з нерівності трикутника. Очевидно також, що a > 0 При а =0 ми розглядали б точки, рівновіддалені від точок F ₁ та F ₂, тобто серединний перпендикуляр до відрізка F ₁ F ₂.

Означення 2. Множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою. Величиною, меншою від довжини відрізка , називається гіперболою.

Точки F ₁ та F ₂ називаються фокусами гіперболи. Для виведення рівняння гіперболи виберемо прямокутну декартову систему координат так, як показано на рис.1, та припустимо, що - одна із точок шуканої множини. Згідно з означенням

. (7)

Оскільки та , то з рівності (7) дістаємо

= , (8)

звідки, звільнившись від радикала в лівій частині та звівши подібні доданки, одержуємо

(9)

Підносячи ще раз обидві частини рівності до квадрату, після очевидних спрощень дістанемо

. (10)

Оскільки c > a, то , тому, ввівши позначення , із останньої рівності отримуємо

(11)

Покажемо, що кожен розв’язок одержаного рівняння задає точку на гіперболі, тобто, що для кожного розв’язку рівняння (11) виконується умова (7). Справді, із (11) дістаємо , тому

Із рівняння (11) випливає, що . Оскільки , то для додатних х маємо , тому

, ,

а для x < 0 дістаємо , тому

, .

В обох випадках виконується рівність (7), тому рівняння (11) є рівнянням гіперболи. Його називають канонічним рівнянням гіперболи. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М.

4. Парабола. Розглянемо на площині деяку пряму d та точку F, розташовану на деякій відстані p від даної прямої. Знайдемо геометричне місце точок площини, відстані від кожної із яких до даної прямої d та точки F рівні.

Означення 3. Множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної прямої d та даної точки F, називається параболою.

Точку F називають фокусом параболи, а пряму d – директрисою.

Для виведення рівняння параболи введемо прямокутну декартову систему координат, провівши вісь О х через точку F перпендикулярно до прямої d та вибравши за початок координат середину відрізка, який сполучає точку F із прямою d (рис. 2). Тоді координати фокуса будуть , а рівняння прямої d запишеться у виді .

Нехай точка - одна із точок параболи. Оскільки відстань від точки М до прямої d буде дорівнювати

і

та, згідно з означенням параболи, , то

= .

Піднісши до квадрату обидві частини рівності та спростивши вираз, дістаємо

. (12)

Таким чином показано, що координати кожної точки параболи задовольняють рівняння (12). Покажемо, що кожен розв’язок (x; y) рівняння (12) задає точку на параболі. Справді,

.

Отже, точка М (x; y) належить параболі. Як і у випадках еліпса та гіперболи відрізок MF називають фокальним радіусом точки М. Число p називають фокальним параметром параболи, а рівняння (12) – її канонічним рівнянням. Очевидно, що парабола – лінія другого порядку.

5. Наведемо приклади розв’язання задач.

Задача 1. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, рівновіддалених від прямої та точки .

Розв’язання. Нехай М (x; y) – одна із точок шуканого геометричного місця точок. Тоді відстань від неї до прямої d буде рівна . Оскільки відстань між точками M та F дорівнює , то, згідно із умовою задачі, виконується рівність = , перетворюючи яку дістаємо

,

або

.

Оскільки вірні перетворення і у зворотному порядку, то одержане співвідношення є рівнянням шуканої множини точок. Відмітимо, що одержане рівняння є рівняння лінії другого порядку, а також, що дана лінія є парабола (згідно з означенням параболи).

Відповідь. .

Задача 2. Знайти координати фокусів еліпса та фокальні радіуси точок з абсцисою 2.

Розв’язання. Записавши рівняння еліпса в канонічному виді та порівнюючи його з рівнянням (6), отримаємо , . Тому , звідки , , . Скориставшись виразами для фокальних радіусів (7) та (8), дістаємо .

Відповідь.

Задача 3. Вершина трикутника, який має нерухому основу, переміщається так, що периметр трикутника не змінюється. Написати рівняння лінії, по якій рухається ця вершина, якщо відомо, що основа дорівнює 24, а периметр трикутника рівний 50.

Розв’язання. Оскільки сума відстаней від рухомої вершини до кінців нерухомої основи не змінюється, то траєкторією руху буде еліпс. Якщо вісь Ox направити вздовж основи, а вісь Oy провести через середину основи, перпендикулярно до осі Ox, то в одержаній системі координат рівняння траєкторії третьої вершини матиме вигляд . За змістом задачі , тому , .

Відповідь.

Задача 4. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох заданих кіл, розташованих одне поза другим.

Розв’язання. Нехай коло з центром у точці та радіусом дотикається до заданих кіл і , центри яких знаходяться у точках та , а радіуси дорівнюють та ().

У випадку, коли задані кола розташовані одне поза другим і коло дотикається до заданих зовнішнім чином (рис. 3 ), виконується рівність

,

із якої, відповідно до означення гіперболи, випливає, що точка при умові, що коло змінює своє положення, рухається по одній із двох віток гіперболи. Другу вітку гіперболи утворюють центри кіл, які дотикаються до двох заданих та містять їх всередині (рис. 3 ), оскільки у цьому випадку виконується рівність . Якщо коло дотикається до одного із заданих кіл внутрішнім чином, а другого зовнішнім (рис. 4), то буде виконуватися рівність , яка показує, що центри кіл належать гіперболі. Обидві гіперболи мають фокуси, які розташовані у центрах заданих кіл, а дійсні осі у них різні: у першому випадку , а у другому . Аналогічний результат ми отримаємо, коли задані кола перетинаються. Рекомендуємо самостійно дослідити випадки, коли кола розташовані одне всередині другого та коли вони дотикаються між собою.