Скалярное произведение векторов

3.1. Определить углы _∆ АВС с вершинами А (2; -1; 3); В (1; 1; 1) и С (0; 0; 5).

Ответ: В=С =45˚.

3.2. Даны векторы: = + + 2 , и = - + 4 . Определить и .

Ответ: .

3.3. Даны компланарные векторы , , , причем | |=3, | |=2, | |=5, ()=60˚ и ()=60˚. Построить вектор и вычислить его модуль по формуле и= .

Ответ: 7.

3.4. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах: и , где и – единичные векторы, угол между которыми 60˚.

Ответ: .

3.5. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если известно, что | |=2 , | |=3 и .

Ответ: 15, .

3.6. Дан вектор , где и – единичные векторы с углом 120˚ между ними. Найти cos ) и cos ).

Ответ: cos ) cos ) .

3.7. Найти угол между векторами: и , где и – единичные векторы, образующие угол 120˚.

Ответ: 120˚.

3.8. Определить угол между векторами и , если известно, что и | |=1, | |=2.

Ответ: 2π /3.

3.9. Найти косинус угла φ между диагоналями (АС) и (ВD) параллелограмма, если заданы три его вершины А (2; 1; 3), В (5; 2; -1) и С (-3; 3; -3).

Ответ: .

3.10. Даны точки А (2; 2) и В (5; -2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы .

Ответ: М₁ (1; 0) и М₂ (6; 0).

3.11. Даны векторы (1; 1) и (1; -1). Найти косинус угла между векторами и , удовлетворяющими системе уравнений , .

Ответ: -4/5.

3.12. | |=3, | |=5. Определить, при каком значении α векторы и будут перпендикулярны.

Ответ: α =±3/5.

3.13. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n < ; n = ; n > .

3.14. В треугольнике АВС = , = . Вычислить длину его высоты , если известно, что и – взаимно перпендикулярные орты.

Ответ: 19/5.

3.15. Вычислить пр , если | |=| |=1 и =120^o.

Ответ: 1/2.

3.16. Зная, что | |=3, | |=1, | |=4 и =0, вычислить .

Ответ: -13.

3.17. Векторы имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора , если , .

3.18. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ( 2; 1; -1) и удовлетворяющего условию =3.

Ответ: (1; 1/2; -1/2).

3.19. Вектор перпендикулярен векторам (2; 3; -1) и (1; -2; 3) и удовлетворяет условию =-6. Найти координаты .

Ответ: (-3; 3; 3).

3.20. Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.

Ответ:

3.21. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положения А (-1; 2; 0) в положение В (2; 1; 3).

Ответ: 4.

3.22. Вычислить работу силы ={3; 2; 4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А (2; 4; 6) в положение В (4; 2; 7).

Ответ: А =6.

3.23. На материальную точку действуют силы ₁= , ₂= , ₃= . Найти работы равнодействующей этих сил и силы ₂ при перемещении точки из А (2; -1; 0) в В (4; 1; -1).

Ответ: 1; -6.