Кривые второго порядка

8.1. Написать уравнение окружности с центром С (-4; 3), радиусом R= 5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А (-1; -1), В (3; 2), О (0; 0)?

Ответ: А и О – на окружности, В – вне ее.

8.2. Построить окружности: 1) х ²+ у ²-4 х +6 у -3=0; 2) х ²+ у ²-8 х =0; 3) х ²+ у ²+4 у =0.

8.3. Построить эллипс х ²+4 у ²=16, найти его фокусы и эксцентриситет.

Ответ:

8.4. Построить эллипс 9 х ²+25 у ²=225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение директрис.

Ответ: а) а =5, b =3; б) F₁ (-4; 0), F₂ (4; 0); в) е =4/5; г) D₁: х =-25/4; D₂: х =25/4.

8.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если: а) а =3, b =2; б) а =5, с =4; в) с =3, е =3/5; г) b =5, е =12/13; д) с =2 и расстояние между директрисами равно 5; е) е =1/2 и расстояние между директрисами равно 32.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

8.6. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b =3; 2) большая полуось а= 6, а эксцентриситет е= 0, 5.

Ответ: 1) 2)

8.7. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147, 5 млн км, а наибольшее 152, 5 млн км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

Ответ: а =150 млн км,

8.8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М (-4; ) и имеет эксцентриситет е =3/4. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-вектор точки М.

Ответ:

8.9. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки М₁ (2; ) и М₂ (0; 2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М₁ и расстояния этой точки до директрис.

Ответ: .

8.10. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М (2 ) и А (6; 0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.11. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

Ответ: или

8.12. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а) 5 х ²+9 у ²-30 х +18 у +9=0;

б) 16 х ²+25 у ²+32 х -100 у -284=0;

в) 4 х ²+3 у ²-8 х +12 у -32=0.

Ответ: а) С (3; -1), а =3; b = , е =2/3, D₁: 2 х +3=0; D₂: 2 х -15=0;

б) С (-1; 2), а =5; b =4, е =3/5, D₁: 3 х +28=0; D₂: 3 х -22=0;

в) С (1; -2), а =4; b = , е =1/2, D₁: у +10=0; D₂: у -6=0.

8.13. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (-1; 0), чем к прямой х =-4.

Ответ:

8.14. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если сумма расстояний от нее до точек F₁ (-1; -1) и F₂ (1; 1) остается постоянной и равной 2 .

Ответ: 2 х ²-2 ху +2 у ²-3=0.

8.15. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если расстояние от нее до точки F (3; 0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у -1=0.

Ответ: 7 х ²-2 ху +7 у ²-46 х +2 у +71=0.

8.16. Построить эллипс , его директрисы и найти расстояния от точки эллипса с абсциссой х =-3 до правого фокуса и правой директрисы.

Ответ: r =7, 4, d =9, 25.

8.17. Построить гиперболу 16 х ²-9 у ²=144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Ответ: а) а =3, b =4; в) F₁ (-5; 0), F₂ (5; 0), в) е =5/3; г) у =±4/3 х; д) х =±9/5.

8.18. Построить гиперболу х ²-4 у ²=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

Ответ:

8.19. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а =2, b =3; б) b =4, с =5; в) с =3, е =3/2; г) а =8, е =5/4; д) с =10 и уравнения асимптот ; е) е =3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.

Ответ: а) б) в) ; г)

д) е)

8.20. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку М (6; -2 ) и имеет мнимую полуось b =2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.21. Убедившись, что точка М (-5; 9/4) лежит на гиперболе , найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния до директрис.

Ответ: r ₁=9/4; r ₂=41/4; r(М, D₁)=9/5, r(М, D₂)=41/5.

8.22. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Ответ: .

8.23. Найти точки гиперболы , находящиеся на расстоянии 7 от фокуса F₁.

Ответ: (-6; ).

8.24. Построить гиперболу , ее директрисы и найти расстояния от точки гиперболы с абсциссой х =5 до левого фокуса и левой директрисы.

Ответ: Директриса х = 3, 2, е =1, 25, r =10, 25, d =8, 2.

8.25. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

Ответ: или .

8.26. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х ²-3 у ²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

Ответ: (0; 0) и (6; ).

8.27. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а) 16 х ²-9 у ²-64 х -54 у -161=0;

б) 9 х ²-16 у ²+90 х +32 у -367=0;

в) 16 х ²-9 у ²-64 х -18 у +199=0.

Ответ: а) С (2; -3), а =3, b =4, е =5/3, уравнения асимптот: 4 х -3 у -17=0 и 4 х +3 у +1=0; уравнения директрис: 5 х -1=0 и 5 х -19=0; б) С (-5; 1), а =8, b =6, е =5/4, уравнения асимптот: 3 х+ 4 у +11=0 и 3 х -4 у +19=0; уравнения директрис: х =-11, 4 и х =1, 4; в) С (2; -1), а =4, b =3, е =5/4, уравнения асимптот: 4 х +3 у -5=0 и 4 х -3 у- 11=0; уравнения директрис: у= -4, 2 и у =2, 2.

8.28. Построить следующие параболы и найти их параметры:

а) у ²=6 х; б) х ²=5 у; в) у ²=-4 х; г) х ²=- у.

Ответ: а) р =3; б) р =5/2; в) р =2; г) р =1/2.

8.29. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у ²=4 х; 2) у ²=-4 х; 3) х ²=4 у; 4) х ²=-4 у, а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

8.30. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (0; 2) и от прямой у =4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

Ответ:

8.31. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и р =1/2;

б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М (4; -8);

в) фокус параболы находится в точке F (0; -3).

Ответ: а) у ²=- х; б) х ²=-2 у; в) х ²= -12 у.

8.32. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0; 0) и (-1; 2) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (0; 0) и (2; 4) и симметричной относительно оси Оу.

Ответ: 1) 2) .

8.33. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

а) у ²=4 х- 8; б) х ²=2- у; в) у= 4 х ²-8 х +7; г) у= -1/6 х ²+2 х -7; д) х=- 1/4 у ²+ у; е) х= 2 у ²-12 у +14.

Ответ: а) А (2; 0); р =2; б) А (0; 2); р =1/2; в) А (1; 3); р =1/8; г) А (6; -1); р =3; д) А (1; 2); р =2; е) А (-4; 3); р =1/4.

8.34. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у ²=12 х, если у(М)=6.

Ответ: 6.

8.35. Зеркальная поверхность прожектора (рис.2) образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?

Ответ: 40 см.

8.36. Определить область расположения кривой . Построить кривую.

Ответ:

8.37. Определить область расположения кривой . Построить кривую.

8.38. Перенесением начала координат упростить уравнения:

1) ; 2) ;

3) (у +2)²=4(х -3); 4) 2 у =-(х +2)²;

5) х ²+4 у ²-6 х +8 у =3; 6) у ²-8 у =4 х;

7) х ²-4 у ²+8 х -24 у =24; 8) х ²+6 х +5=2 у.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

Ответ: 5) 6) 7) 8)

8.39. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий:

1) 2 х ² +5 у ²-12 х +10 у +13=0;

2) х ²- у ²+6 х +4 у -4=0;

3) у ²+4 у =2 х;

4) х ²-10 х =4 у -13.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

Ответ: 1) 2) 3) 4)

8.40. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1) 3 х ² -2 ху +3 у ²-4 х -4 у -12=0; 2) х ²-6 ху + у ²-4 х -4 у +12=0.

Ответ: 1) 2)

8.41. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:

1) х ²+4 ху +4 у ²-20 х +10 у -50=0; 2) х ² -4 ху +4 у ²-6 х +12 у +8=0

и построить их.

Ответ: 1) 2) пара прямых х -2 у =3 1.

8.42. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1) х ²- ху + у ²-2 х -2 у -2=0; 2) 3 х ² +10 ху +3 у ²-12 х -12 у +4=0.

Ответ: 1) 2)