Смешанное произведение векторов

5.1. Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и | |=4, | |=2, | |=3. Вычислить .

Ответ: 24.

5.2. Векторы образуют левую тройку, | |=1, | |=2, | |=3 и °; , . Найти .

Ответ: -3/2.

5.3. Заданы векторы (1; -1; 3), (-2; 2; 1), (3; -2; 5). Вычислить . Какова ориентация троек: а) (, , ), б) (, , ), в) (, , )?

Ответ: -7. а) левая; б) правая; в) правая.

5.4. Установить, образуют ли векторы , и базис в множестве всех векторов, если:

а) (2; 3; -1), (1; -1; 3), (1; 9; -11); б) (3; -2; 1), (2; 1; 2), (3; -1; -2).

Ответ: а) нет; б) да.

5.5. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) , , ;

б) , , .

Ответ: а) да; б) нет.

5.6. Доказать, что векторы компланарны.
Ответ:

5.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.

5.8. При какомl векторы будут компланарны?

а) ( l; 3; 1), (5; -1; 2), (-1; 5; 4); б) (1; 2l; 1), (1; l; 0), (0; l; 1).

Ответ: а) -3; б) при любом l.

5.9. Доказать, что четыре точки А (1, 2, -1), В (0; 1; 5), С (-1; 2; 1) и D (2; 1; 3) лежат в одной плоскости.

5.10. Проверить, лежат ли точки А (2; -1; -2); В (1; 2; 1); С (2; 3; 0); D (5; 0; 6) в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

5.11. Построить параллелепипед на векторах , , и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов ?

Ответ: V =51, левая.

5.12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

5.13. Построить пирамиду с вершинами О (0; 0; 0), А (5; 2; 0), В (2; 5; 0) и С (1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Ответ: V =14,

5.14. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ; ; .

Ответ: 17/2.

5.15. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А (2; -3; 5); В (0; 2; 1), С (-2; -2; 3) и D (3; 2; 4).

Ответ: 6.

5.16. В тетраэдре с вершинами в точках А (1; 1; 1), В (2; 0; 2), С (2; 2; 2) и D (3; 4; -3) вычислить высоту h =| |.

Ответ: 3 .

5.17. Задана пирамида с координатами своих вершин: А (2; 0; 0); В (0; 3; 0); С (0; 0; 6) и D (2; 3; 8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .