Введение. Моделирование в классической экологии.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Под моделью понимается упрощенное воспроизведение реальности, предположительно отражающее в обобщенной форме её существенные черты и взаимосвязи. В логике под моделью понимается такой материальный или мысленной представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение даёт новые знания об объекте-оригинале. В соответствии с данным определением модели моделирование представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей.

Процесс моделирования включает три элемента:

1) субъект (исследователь);

2) объект исследования;

3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В – модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Часто (но не всегда) параллельно со стадией постановки задачи идет процесс выявления основных или существенных особенностей явления (рис. 1).

РЕАЛЬНАЯ СИТУАЦИЯ – ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ - МОДЕЛЬ - ПРОГНОЗ

Обобщенная структурная схема процесса построения модели приведена на рисунке 2. Исходной позицией процесса проектирования модели является сама моделируемая система, а результатом ее – модель. Первым шагом при проектировании является выбор наиболее удачной математической модели. Этот этап должен обеспечить получение наиболее удачной матмодели. Системы, как правило, проектируются с использованием структурных схем, построением систем уравнений и другими математическими приемами, обеспечивающими получение алгоритма.

Рисунок 2 – Структурная схема процесса проектирования модели системы

Вторым этапом процесса проектирования является подготовка математической модели для моделирования. Задача решается приведением к структурной схеме дискретного процесса и приведением системы уравнений к дискретной форме. Этот этап завершается, следовательно, двумя результатами:

1. математическим описанием;

2. структурной схемой всей дискретной системы.

Все методы представленные в данном случае, связаны с синтезом дискретных систем, аналогичных моделируемым непрерывным, дискретным или комбинированным системам.

Третьим этапом является написание программы для осуществления математического моделирования. Этот решающий этап, содержащий строгое соблюдение временных соотношений в синтезируемой математической модели. В частности, при моделировании одной из одногерцевых систем в истинном масштабе времени, для которой выборочный период составляет 1/20 с, а запаздывания в обратной связи достигают одного интервала выборки, могут возникнуть фазовые смещения в 16 периодов. Из опыта проектирования моделей известно, что наибольшее число проблем возникает при переходе от задач 2-го этапа к задачам 3-го этапа. Необходимо подчеркнуть, что задача, стоящая перед 2-м этапом, содержит в качестве важного элемента выработку требований к условиям моделирования. Они обычно определяются на основании анализа условий, вытекающих из 1-го этапа, на основании которого закладывается математическая модель системы.

Во всех случаях необходимо стремиться к условиям высокой точности и высокой надежности, вследствие этого возможно создание более выгодных в этих случаях упрощенных моделей, обладающих повышенным быстродействием.

В приведенных ниже по тексту в лабораторных практикумах, рассматриваются в основном модели классической экологии (взаимодействие популяций).

Популяция ¾ совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями ¾ межвидовой конкуренцией.

Внутривидовая конкуренция в популяции с дискретным размножением. Для популяций с дискретным размножением (некоторые виды растений, насекомых и т.д.) поколения четко разнесены во времени и особи разных поколений не сосуществуют. Численность такой популяции можно характеризовать числом N _t и считать t величиной дискретной ¾ номером популяции. Одна из моделей межвидовой конкуренции в этом случае выражается уравнением

(1)

Здесь R ¾ скорость воспроизводства популяции в отсутствии внутривидовой конкуренции (математически это соответствует случаю a = 0). Тогда уравнение определяет просто изменение численности популяции по закону геометрической прогрессии: , где N ₀ ¾ начальная численность популяции.

Знаменатель в уравнении отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции; a и b ¾ параметры модели.

Исходные параметры модели:

o R ¾ скорость воспроизводства;

o N ₀ ¾ начальная численность популяции;

o a ¾ параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.

Характерная черта эволюции при b = 1 ¾ выход численности популяции на стационарное значение при любых значениях других параметров. Однако, в природе так бывает не всегда, и более общая модель при b ¹ 1 отражает другие, более сложные, но реально существующие, виды эволюции. Этих видов модель описывает четыре:

1. монотонное установление стационарной численности популяции;

2. колебательное установление стационарной численности популяции;

3. устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;

4. случайные изменения численности популяции без наличия явных закономерностей (динамический хаос).

Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением. Математическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравнений. Наиболее известна так называемая логистическая модель:

(2)

Исходные параметры модели:

где: r ¾ скорость роста численности популяции в отсутствие конкуренции; K ¾ предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю; N ₀ ¾ начальная численность популяции.

Межвидовая конкуренция. В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть N ₁ и N ₂ ¾ численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки-Вольтерры) выражается уравнениями

(3)

Содержательный смысл параметров можно понять из сравнения с предыдущей моделью. Дополнительные параметры a ₁₂и a ₂₁ отражают интенсивность межвидовой конкуренции.

Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции - при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида?

Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них.

Система «хищник-жертва». В этой системе ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищника», для которого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом. Обозначим через С численность популяции хищника и через N ¾ популяции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями:

(1)

В первое уравнение заложен следующий смысл. В отсутствии хищников (т.е. при С =0) численность жертв растет экспоненциально со скоростью r, т.к. модель не учитывает внутривидовой конкуренции.

Скорость роста числа жертв (т.е. ) уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи представителей видов; а ¾ коэффициент эффективности поиска. Второе уравнение говорит о следующем. В отсутствии жертв численность хищников экспоненциально убывает со скоростью q; положительное слагаемое в правой части уравнения компенсирует эту убыль; f ¾ коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.

Вопросы для лабораторных работ, связанных с моделированием в экологии.

1. Что описывает и какие эффекты учитывает модель?

2. В чем состоит предмет исследований классической экологии?

3. Каков смысл переменных и параметров модели?

4. В чем сущность процессов:

o внутривидовой конкуренции?

o межвидовой конкуренции?

o отношений «хищник-жертва»?

5. Каковы цели математического моделирования в экологии?

6. В чем отличие приемов моделирования популяций с непрерывным и дискретным размножением?

7. Какие предположения используются при построении модели?

8. Каковы возможные направления модификации модели?

Общие вопросы к компьютерным практикумам в целом.

1. Какие особые точки есть на фазовом портрете системы?

2. Каковы координаты особых точек?

3. Меняется ли тип особых точек при изменении параметров модели?

4. Каковы особые направления? Каковы асимптоты?

5. Есть ли на фазовом портрете изучаемой системы предельные циклы?

6. Возможны ли в рассматриваемой системе бифуркации? При каких условиях?

Общие требования к уровню усвоения лабораторных практикумов-работ:

В результате подготовки и выполнения работы студенты должны:

1. знать уравнение (-я), описывающее (-ие) модель;

2. знать смысл переменных и параметров уравнения (-й);

3. знать влияние изменения параметров модели на ее поведение;

4. уметь определять тип особых точек системы;

5. уметь описывать поведение системы по фазовому портрету;

6. уметь описывать поведение системы по графику зависимости.