Величин по выборкам. Степенные средние.

Степенные средние и способы их вычисления. Средняя арифметическая (Х – для выборочной совокупности; Х~ – для генеральной совокупности). Этот показатель является центром распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности. Средняя арифметическая может быть простой (Х) и взвешенной (X взв). Методы вычисления средней арифметической (Х):

а) прямой, когда среднюю арифметическую определяют как сумму вариант всех членов

совокупности, деленную на их число:

прямой метод вычисления Х приемлем для малых выборок.

б) непрямой, приемлемый для больших выборок:

где А – условная средняя, взятая из модального класса.

Средняя взвешенная ( X взв ) – это результат усреднения средних арифметических нескольких совокупностей. Для вычисления этого показателю пользуются формулой 6:

Условие.

Имеются средние арифметические показатели длины тела (в см) отдельных лабораторных крыс и их количество в разных лабораториях:

Требуется вычислить среднюю длину тела лабораторных крыс по этим лабораториям.

Решение.

В данном случае нельзя вычислять среднюю арифметическую путем сложения всех средних по длине тела и деления суммы на количество лабораторий, так как средняя длина тела в каждой отдельной лаборатории относится к разному количеству крыс. Поэтому для вычисления пользуются формулой 6:

Ответ. Средняя длина тела крыс по пяти лабораториям составляет: Хвзв= 22, 5 см. Средняя геометрическая ( Х g) – это среднее значение признака, характеризующий темп роста, темп увеличения популяции. Применение данного показателя удобно в тех случаях, когда признак выражен в долях единицы или в процентах и изменяется во времени или по ериодам. При вычислении Х g необходимо исключать варианты, выражающиеся нулем или отрицательным числом. С помощью Х g можно определить относительный прирост стада, привесов тела за определенный период времени. Формула для вычисления средней геометрической:

где, х – варьирующий признак, n – число наблюдений в выборке.

Условие.

Допустим, необходимо определить темп увеличения численности популяции бактерии кишечной палочки E.coli за 7 мин: 5-8-25.

Решение.

Для выполнения этого задания необходимо воспользоваться формулой 7.

Ответ. За 7 минут, в среднем, популяция бактерии E.coli увеличивается на 10. Средняя квадратичная ( Х s) – характеристика мер площади:

где, å x 2 - сумма квадратов варьирующего признака, n – число наблюдений в выборке. Условие.

Необходимо определить средний диаметр ядра в клетках следующего вариационного ряда (х – диаметр клеток, микрон):

10.3. Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам: показатели изменчивости. Достоверность выборочных показателей

Показатели изменчивости. Биологические объекты отличаются большой вариабельностью признаков, особенно количественных. Это зависит от влияния внешних факторов на организм и генетических особенностей. К показателям вариации относят: лимиты, средне квадратическое (стандартное) отклонение (σ), варианса (σ 2), коэффициент вариации (Сv), нормированное отклонение (t).

Среднее квадратическое отклонение (σ) показывает, на сколько, в среднем, каждая варианта отклоняется от средней арифметической, вычисленной для данной совокупности.

Среднее квадратическое отклонение имеет ряд свойств:

1. σ – величина абсолютная, т.е. именованная, поэтому она выражается в тех же единицах измерения, что и средняя арифметическая.

2. Чем больше значение σ для данного признака, тем больше изменчивость этого при-

знака.

3. σ позволяет судить о размахе изменчивости.

Весь размах изменчивости, который ограничен максимальным и минимальным значением признака включает в себя 6σ. Общий размах изменчивости выражается в виде Х ± 3σ.

Доказано, что в генеральной совокупности:

в пределах Х ± 1σ находится 68% вариант совокупности,

в пределах Х ± 2σ – 95, 5% вариант,

а в пределах Х ± 3σ – 99, 7%.

Таким образом, общий лимит изменчивости для 99, 7% членов совокупности укладывается в размер шести стандартных отклонений. А за пределами ±3σ находится только 0, 3%

всех членов совокупностей (правило ±3σ). Следовательно, по значениям Х и σ можно рассчитать значения x ~ min и x ~ max для генеральной совокупности по формулам:

4. Поскольку σ величина именованная, она не может быть использована для сравнения изменчивости разноименных признаков. По среднеквадратическим отклонениям сравнивают изменчивость двух или большего числа групп организмов только по одноименным признакам и при условии, если средние этих признаков у сравниваемых групп имеют не очень большую разность.

Среднее квадратическое отклонение вычисляют по формулам:

А. При n< 30

В. При n> 30

n

Коэффициент вариации (Cv) является выражением среднеквадратического отклонения в процентах от средней арифметической:

Коэффициент вариации всегда выражается в процентах и, являясь относительной величиной, позволяет судить не о размахе, а о степени изменчивости признаков, выраженных в любых единицах измерения. Поэтому Сv применяют для сравнения степени изменчивости различных признаков. Особенностью коэффициента вариации является то, что он не рассматривается в отрыве от Х и σ и то, что он используется при изучении динамических рядов.

Ошибки исследований. При всяком исследовании имеется опасность допустить целый ряд ошибок самого разнообразного характера. Все эти ошибки могут быть сведены в следующие группы.

А. Общие ошибки, свойственные как сплошному, так и выборочному исследованиям.

К ним относятся:

1. Методические ошибки:

а) применение порочной методики проведения опыта (нарушение стандартных правил фиксации препаратов и химического анализа, выбор неправильного направления исследования, несоответствующего поставленным задачам, и др.);

б) невыравненность условий жизни для контрольных и опытных особей.

2.Ошибки точности:

а) использование непроверенных и неправильно градуированных измерительных приборов; б) расчеты с недостаточной точностью. Нецелесообразными являются расчеты с избыточной точностью, так как отнимают без пользы много времени.

3. Случайные ошибки:

а) описки, просчеты;

б) перепутывание опытных образцов.

Б. Ошибки выборочного исследования, свойственные только выборочным исследованиям. К ним относятся:

4. Ошибки типичности:

а) отбор в выборку таких объектов, которые неправильно, односторонне отражают свойства генеральной совокупности, например, исследование только выдающихся особей или только средних или треть лучших, треть средних и треть худших;

б) отбор в выборку особей, развивавшихся в условиях, резко отличных от тех, которые характерны для всей генеральной совокупности;

в) при типическом пропорциональном отборе — отбор не из всех частей популяции и без учета объема типических частей;

г) при серийном (гнездовом) отборе — отбор нехарактерной серии или изучение тенденциозно выбранных особей в серии.

Все указанные категории ошибок вызываются или неправильной методикой исследования или неумелым и небрежным выполнением работы. Избежать их или свести к минимуму возможно при продуманной и тщательной организации эксперимента или обследования.

5. Ошибки репрезентативности.

При выборочном исследовании существует еще особый тип ошибок, вытекающих из самой сущности выборочного исследования и имеющих причиной то обстоятельство, что вся генеральная совокупность характеризуется на основании изучения лишь ее части — выборки.

Таких ошибок— ошибок репрезентативности — невозможно избежать в выборочном исследовании даже при идеальной организации исследовательской работы. Тем не менее выборочное обследование может дать точную характеристику генеральной совокупности вследствие наличия двух благоприятных обстоятельств:

а) величину ошибок репрезентативности можно свести к минимуму определенной организацией выборочного исследования;

б) разработаны методы, позволяющие по выборочным данным определить возможную величину ошибок репрезентативности с тем, чтобы учитывать их при переходе от выборочных показателей к генеральным.

Математическая статистика дает способы определения ошибок репрезентативности (ошибок выборочных показателей) — ошибки средней арифметической т, ошибки доли, ошибки разности двух выборочных показателей, ошибки коэффициента корреляции и др. Рассчитывать величину ошибок репрезентативности требуется только для выборочных показателей. Если же исследуются не выборки, а генеральные совокупности, определять ошибки репрезентативности не нужно. Определять величину ошибок репрезентативности следует только в тех случаях, когдорганизация исследования исключает все другие виды ошибок или когда все они сведены к минимуму. Пусть, например, изучается вес рыб, идущих косяком, в котором обычно впереди—самки, за ними — молодь и сзади — самцы. Если в выборку попали рыбы главным образом из головной части косяка, то при определении среднего веса для всего косяка будет допущена ошибка типичности: в выборку попали особи только из одной части генеральной совокупности, отличающейся от остальных частей. Очевидно, что в данном случае расчет ошибок репрезентативности уже не поможет, так как отбор особей в выборку произведен неправильно.

Ошибка репрезентативности. Доказано, что выборка, составленная по принципу случайности, обладает свойством репрезентативности, т.е. она характеризует генеральную совокупность с определенной степенью точности и достоверности. Достоверность выборочных показателей, Х, σ, Cv и др. устанавливают при помощи ошибки репрезентативности, которая вытекает из самой сущности выборочного исследования, при котором генеральная совокупность характеризуется на основании изучения выборки.

Ошибка зависит от изменчивости и численности вариант. Если n< N, то ошибка (m) имеет место, и она тем больше, чем меньше объем выборки и, чем больше изменчивость признака.

Ошибка репрезентативности средней арифметической зависит от двух величин: от степени разнообразия признака в генеральной совокупности и от численности выборки. Предположим, что разнообразие признака в генеральной совокупности равно нулю. Это значит, что все особи данной совокупности совершенно одинаковы. Примером может служить цвет пера у одноцветных видов птиц. В таких случаях любая выборка, даже в один экземпляр дает точную характеристику всей генеральной совокупности без какой бы то ни было ошибки репрезентативности. Чем больше разнообразие признака, тем он более изменчив, тем больше возможность попасть на такую выборку, средняя которой сильно отличается от генеральной средней. Таким образом, чем больше разнообразие, тем больше

ошибка репрезентативности

Ошибка средней арифметической вычисляется по следующим формулам:

- при n< 30:

- при n> 30:

где σ - среднеквадратическое отклонение; n - объем выборки.

Из формул 15 и 16 видно, что ошибка X m прямо пропорциональна величине изменчивости признака (σ) и обратно пропорциональна квадратному корню из объема выборки. Следовательно, чем больше n и чем меньше σ, тем меньше величина ошибки, а это свидетельствует о том, что если σ = 0, то X m = 0 и Х = Х~. Величину «ошибка репрезентативности» определяют только для выборочных показателей. Если группа особей выступает как генеральная совокупность, то ошибки репрезентативности не вычисляются.

Ошибки других выборочных совокупностей вычисляют по формулам:

ошибка σ:

Величину выборочного показателя записывают с величиной его ошибки со знаком ±:

Таблица 7.1.

Достоверные вероятности, соответствующие границы в больших выборках

Достоверность выборочных показателей. По величине x t судят о достоверности данного статистического параметра, основываясь на связи этой величины с уровнем вероятности (Р). Границы, в которых лежит средняя арифметическая генеральной совокупности (Х~) называются доверительными. Её можно определить по показателям средней арифметической (Х) и ошибки (X m), которые были получены из выборочной совокупности. Доказано, что средние величины отдельных выборок группируются вокруг средней для генеральной совокупности (Х~). При этом, Х отклоняется от Х~:

на 1, 96m – в 95% случае;

на 2, 58m – в 99% случае;

на 3, 3m – в 99, 9% случае.

Коэффициенты, стоящие при средней ошибке (1, 96; 2, 58; 3, 3) представляют собой нормированные отклонения (t), которые соответствуют приведенным доверительным вероятностям.

Приведенные выше показатели – 95%, 99% и 99, 9% - это доверительные вероятности, которые употребляются в долях единицы – Р=0, 95; Р = 0, 99; Р=0, 999. Величина Р указывает на вероятность безошибочного прогноза. t зависит от Р (последняя выбирается из требований, предъявляемых к достоверности выводов (табл. 7.1).

Если вычисленное значение X t будет меньше 1, 96, то выборочный параметр Х недостоверен, т.е. он не может служить характеристикой для генеральной совокупности и, в этом случае, полученные в опыте данные не имеют ценности, т.к. выводы не могут быть распространены на генеральную совокупность, изучение которой служит основной целью опыта, построенного на выборочном методе. Достоверность выборочных показателей (±t) определяется отношением выборочного показателя к его средней ошибке по формулам:

В зависимости от того, какой вопрос решается статистическим методом с использованием выборочной совокупности, требование к порогу достоверности выбирается различное (табл.6.1).

Для установления достоверности разности следует воспользоваться формулой 23, которая применяется при сравнении двух выборок:

Список литературы:

Осн: №10 стр.93-112,

Доп: №8 стр.105-113

Контрольные вопросы:

1. Показатели изменчивости: свойства и особенности их применения.

2. Среднеквадратичное отклонение: особенности и способы их вычисления.

3. Коэффициент вариации: особенности и способ вычисления.

4. Ошибки репрезентативности: причины их возникновения и способы их вычисления.

5. Достоверность выборочных показателей: методология вычисления.

6. Доверительные интервалы.

7. О чем свидетельствует число ошибочных случаев и нормированное отклонение?

8. Корреляционный анализ: сущность, способы и методы вычисления.

9. Коэффициент корреляции: свойства и применение.

10. Коэффициент фенотипической корреляции при малом и большом числе вариант:

методика и особенности расчета.

11. Положительная и отрицательная корреляция.

12. Коэффициент генетической корреляции.